《厦门大学2011年下学期高等数学期中考试卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《厦门大学2011年下学期高等数学期中考试卷及答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11. (10 分) 求抛物线 与其上一点 处的法线围成的平面图形的面积.2=yx1(,)2A解：先求出抛物线 在点 处的法线方程.2(,)， -2 分2=1=1()yydx所求的法线方程为 ，即 . -3 分()x3=2yx则法线与抛物线的两个交点分别为 -2 分19(,)，于是所围平面图形的面积为. -3 分112233 -36()d=()=Syyy2. (10 分) 半径为 R(单位为：米) 的半球形水池充满了水( 单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间 所对应的 ,+dx小薄层，此薄层水重为 (吨)，将此层2(R水提高到水池外面的距离是 ，因此所作的
2、微功为x， -6 分2d()dW要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为(吨.米) -4 分2401()RxR3. (10 分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h（千米/时）.假设减速厦门大学高等数学课程期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）xyxx+dxR2伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6.0106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=90
3、00 kg，着陆时的水平速度 km/h，从飞机接触跑0=7v道开始计时，设 t 时刻飞机滑行的距离为 x(t)，速度为 v(t)。 -2分根据牛顿第二定律知 ，所以 -2dvmkt分 dvkt两端积分得通解 ，代入初始条件 ，解得 ，故 。-3t=ekmvCt=0|v0=Cvt0ekm分飞机滑行的最长距离为 。 -3t+000(t)(t)de1.5kmvvx k分或由 知， ,故最长距离为t0(t)=ekmdxvt tt 00()=ede1)kkmmvxv(当 时 。t+0(t)1.5k4. (10 分) 求微分方程 的通解。+=ecosxy解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，所以对应
4、齐2r+012r=0，次方程的通解为 。 -3 分12exyC下面分别求 与 的特解+=x cosy设方程 的特解为 ，代入方程得 ，所以 -1 分exy *1exA1=2A*1=e2xy为求 的特解，先求方程 的一个特解，+=cos i+exy3为此设特解为 ，代入方程消去 得 ，所以 i*=exyBiex1i=2B-2i1=sinco)i(snco)2x x( 分即 的特解为 -1 分+=cosyx *2sinco=xy所以原方程的特解为 -1 分*12is+e2xx所求微分方程的通解为 。 -2 分12=+xyCincosx5(10 分)求过点 且与两个平面 和 的交线平行的(35)，
5、5=1yz43xz直线的方程。解：所求直线的方向向量为两已知平面法向量的叉积。 -2 分平面 的法向量为 ， -1 分25=1xyz1n=25， ，平面 的法向量为 ， -1 分43204， ，则所求直线的方向向量为 ， -3 分12ijkn=-5=i+3j04由于直线过点 ，故所求的直线方程为 。-3 分(325)，25=31xyz6. (10 分)求母线平行于 轴且通过曲线 的柱面方程和曲线 在 yozx22+160zxy： 平面上的投影曲线 的方程，并求曲线 绕 轴旋转曲面方程，并指出该旋转LL曲面方程表示的是哪种曲面，画出它的简图。解：从上述两方程消去 便得到母线平行于 轴的柱面方程x
6、xy=8 y=-8 -3 分4曲线 在 yoz 平面上的投影曲线方程为 ， -2 分23=16:0yzLx绕 轴旋转曲面方程为 ， -4 分Lz223()=16xyz此曲面称为(旋转)单叶双曲面。 -1 分7(10 分) 设二元函数 具有二阶连续的偏导数， ,求()zfu,v 2u=xyv+y，的偏导数 与二阶偏导数 。zzxy， 22zzxyx， ， ，解： ， -2 分由于互换 x， y 不改变 u， v，从而不改变 ，所以 是对称函数=()zfu,vz从而 由全微分形式的不变性得 -1 分-2 分整理得所以得到-2 分-2 分互换 x， y 后变得-1 分8. (10 分) 求曲线 在点
7、 处的切线方程和法平面方程。2+=164xyz(04)M，解：记 -2 分2 2(,),+FzzGxyzx则 -2 分M|=0()|0()|8xyMzMF，fvfuf .2vuffyz)(dx d2 vuvu fxfyfxf vvuu fxfyd2d2d fy vvu xfyxfyxyff vuvu )()( d22xv xffxyfyfvuvuv )4( 22 )dxz yfxfyxfyf vuvuu d)4)(2(2vuvuv ffffz 222 xyzfxfyxfyvuvu 224)(vuvuv fyfxffz 225-2 分M()24)|=()2|0,()x yMzGGG,-2 分03
8、,yz xyzxFF，故所求的切线方程为 ，法平面为 。 -2 分4=-20yz=0y9(10 分)设函数 ，(1)求 函数在点 指向 的方uxu0(1,2)M，1(2)，向导数 ;(2)问函数 在 处沿什么方向的方向导数最大？它的最大值是多少？0M解：(1) ， -2 分01s=(2,3)，o1s=2,34，-2 分0 00MMMuuuxyz，故 -2 分02839=s1414M(2) 沿点 处梯度方向的方向导数最大，而 -2 分0grad|=2,41Mu故 . -2 分022max|=+(4)1sMu10(10 分) 求函数 的极值。22e(+)xfyy,解：令 ，得驻点 -4 分2=e(+41)=0)xyf 1()2M，又 ()xAfM221(,)2e(8|e48)e0xy()xyBf21(,)2=+|0x, -3 分()yCf21(,)e|ex因为 ，所以 -2 分2=40AB3在 处取得极小值 。 -1 分()fxy,1()2， e2
