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1、第三节 函数、方程及其应用第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题1.（2009 福建卷文）若函数 fx的零点与 42xg的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 f可以是A. 41fx B. 2(1)fx C. xfe D. fIn答案 A解析 41fx的零点为 x= 41, 2(1)fx的零点为 x=1, 1xfe的零点为 x=0, 2fIn的零点为 x= 3.现在我们来估算 42xg的零点，因为 g(0)= -1,g( 1)=1,所以 g(x)的零点 x(0, 1),又函数 f的零点与4xg的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 4fx的零点适合，故选 A。2.(2009 山东卷文)若
2、函数 f(x)=a x-x-a(a0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 答案 1|a解析 设函数 (0,xy且 1a和函数 yxa,则函数 f(x)=a x-x-a(a0 且 a 1)有两个零点, 就是函数 且 与函数 有两个交点,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数 (1)xya的图象过点(0,1),而直线 yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1|. 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行
3、解答3.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的
4、总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 2240BCx, 24(0)kyx其中当 02x时，y=0.065,所以 k=9所以 y 表示成 x 的函数为 2249()0yxx（2） 22490,423238)18(0)( x,令 0y得418()xx,所以 160,即 x,当 时, 2,即 y所以函数为单调减函数,当 4620x时, 4(0)xx,即 所以函数为单调增
5、函数.所以当 1时, 即当 C 点到城 A 的距离为 1时, 函数 2249(0)yxx有最小值.解法二: （1）同上.（2）设 22,40mxn,则 , 9y,所以4914911()3()(32)4006nmyn当且仅当m即 26时取”=”.下面证明函数 940ym在(0,160)上为减函数, 在 (160,400)上为增函数.A BC x 设 042402409 m1m29160160所以 221214(0)()9mm,所以 2122121()(40)() 0即 12y函数 490ym在(160,400)上为增函数.所以当 m=160 即 40x时取 ”=”,函数 y 有最小值,所以弧 上
6、存在一点，当 1时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用 ,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.5. (2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y万元。（）试写出 y关于 的函数关系式；（）当 m=640 米
7、时，需新建多少个桥墩才能使 y最小？解 （）设需要新建 n个桥墩， (1)1mxx， 即 n=所以 (2)xy=f(x)256+()256(-)+256.（） 由（）知， 233221()(51).mfxx令 ()0fx，得3251，所以 =64 当 00. 在区间（64，640）内为增函数，所以 ()fx在 =64 处取得最小值，此时， 64019.mnx故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。6.（2009 年上海卷理）有时可用函数0.5l,(6)()4,axfx描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ *xN） ，()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学
8、科知识有关。（1 ）证明 当 7时，掌握程度的增加量 (1)(fxf总是下降；（2 ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(5, (12, (3。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。证明 （1）当 0.47(1)(3)(xfxfx时 ，而当 时 ，函数 3y单调递增，且 )(4x0.3 分故 (1)(fxf单调递减 当 7时 ，掌握程度的增长量 (1)(fxf总是下降.6 分（2）由题意可知 0.1+15ln 6a=0.85.9 分整理得 0.56ae解得.052.13.0,2(1,71.13 分由此可知，该学科是乙学科.14 分 7.（2009
9、上海卷文） （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时可用函数0.15ln,6,()4,axfx 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ *xN） ， ()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关.（1）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（ x+1） - f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.证明 （1）当 7x时， 04(1
10、)(3)(fxfx而当 时，函数 34y单调递增，且 )0x故函数 (1)(fxf单调递减 当 7时，掌握程度的增长量 (1)(fxf总是下降 (2)有题意可知 0.5ln0.856a整理得 0.56ae解得.052.613.0,2(1,71.13 分由此可知，该学科是乙学科.14 分20052008 年高考题一、选择题1.（2008 年全国一 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间 t的函数，其图像可能是 （ ）答案 A2.（2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g
11、(x)的图象可能是 （ ）答案 D3.（07 广东）客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中，正确的是 （ ）A B C D答案 C4.某地一年内的气温 ()Qt（单位：）与时刻 t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为 10 .令 C（t）表示的时间段0，t的平均气温，stOAstOstOstOB C DC（t）与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）答案 A解析 由图可以发
12、现当 t=6 时，C(t )=0，排除 C；t =12 时，C(t)=10，排除 D；t 在大于6 的某一段气温超于 10，所以排除 B，故选 A。二、填空题5.（2006 年上海春季 2）方程 1)2(log3x的解 x . 答案 26.（2007 年上海 4）方程 9670xx的解是 答案 7log3 7.（2006 年北京卷 14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k棵树种植在点 ()kkPxy， 处，其中 1x， 1y，当 2k 时，11255kkxTky， ()Ta表示非负实数 a的整数部分，例如(2.6)T， (0.2)按此方案，第 6 棵树种植点的
13、坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 答案 （1，2） （3，402）三、解答题8.（2008 年江苏卷 17）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP，设排污管道的总CBPOAD长 为 ykm（）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将 y表示成 的函数关系式；设 OP x(km) ，将 表示成 x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数
14、关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短解 本小题主要考查函数最值的应用（）设 AB 中点为 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad) ，则10cosAO, 故 10cosOB，又 OP 10tan，所以 yP， 所求函数关系式为 201sin0coy4若 OP= x(km) ，则 OQ10 x，所以 OA=OB= 22100xx所求函数关系式为 20y（）选择函数模型， 22cos)1in(0cos)sin1(1 令 0y得 sin 2，因为 04，所以 = 6.当 ,时， 0y， 是 的减函数；当 ,64时， y，y 是 的增函数.所以当 = 时， )31(iny(km)。这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 103km 处。9.（2008 年湖北卷 20）.(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 的近似函数关系式为 .120,.5)413(0,)(12
