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1、数形结合思想在中学数学中的应用摘 要数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合的思想是数学的重要思想之一。本文将从数形结合思想的重要性，概念，在教学、解题中的应用和培养学生养成应用数形结合思想的好习惯出发，阐述数形结合思想。关键词：数形结合思想 重要性 教学 解题 习惯一、 数形结合思想1、 数形结合思想的重要性数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离
2、分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。2、 数形结合思想的方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函
3、数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结
4、合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。二、 数形结合思想在教学中的应用“数无形时不直观，形无数
5、时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。下面就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略，以体现数形结合思想在教学中的应用。1、联想图形的交点例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的
6、方程的解的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。的对称轴为即 又从而作出的图象，可知方程有3个解。例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C）2、联想绝对值的几何意义例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围
7、。避免繁琐的运算。：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得：3、联想一次函数例4、已知，求证：分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数而又又（2）令 同理可得从而 即4、联想二次函数例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设。又为偶函数，由图可知5、联想反函数的性质例6、方程的实根分别为，则= 分析：本题不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以
8、数助形可巧妙求解令互为反函数，其图象关于对称，设 即6、联想函数的单调性例7、已知实数（为自然对数的底），证明：分析：本题直接证较难，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证考虑函数在上的单调性即在上单调递减，7、联想函数奇偶性例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，则奇函数可得：，则又由对称性知：同理：08、联想斜率公式例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。分析：这个问题
9、表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。令，则由已知有得到这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率由此可以看出：即的取值范围是。例10、计算：分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为则9、联想两点间的距离公式例11、设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，
10、构造如图的，其中则在中，有10、联想点到直线的距离公式例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而例13、方程表示的曲线是 分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：即动点到定点的距离与到定直线的距离相等方程表示的曲线是抛物线11、联想直线的截距例14、已知，求的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置
11、关系即可求。可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即注：本题也可用三角换元。例15、求函数的最值。分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。令，则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又12、联想定比分点坐标公式例16、已知是定义在上的单调函数，实数，若，则（ ）（05年辽宁高考）A. B. C. D. 分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。不妨设，易知为有向线段的分点，又是定义在
12、上的单调函数及可知为有向线段的外分点，。故选（A）三、 数形结合思想在解题中的应用作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。（1）“数”中思“形”例1、如果实数满足等式，那么的最大值是什么？解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点A与原点连线的斜率。当与C相切，且切点A落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以=，所以 = =。例2、 解不等式： 解：设 ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图
13、象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 （2）“形”中觅“数”例3、求方程的解的个数。分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。 因为, 所以 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。 例4、已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析：作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为 。所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共
14、点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。例5、设复数满足=,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图满足= 复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为 =,故的最大值是=。 在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：（1）、善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。（2）、 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。四、 培养学生使用数形结合的良好习惯我们在学习简单的应用题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决分数应用题时，就要求学生画出线段图来。在学习了平面图形 、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来
