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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)=_.(2)=_.(3)的通解为=_.(4)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是 _.(5)设两两相互独立的三事件和满足条件:且已知则=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设是连续函数是的原函数,则(A)当是奇函数时必是偶函数 (B)当是偶函数时必是奇函数(C)当是周期函数时必是周期函数 (D)当是单调增函数时必是单调增函数(2)设,其中是有界函数,则在处(A)极限
2、不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设,其中 ,则等于(A) (B)(C)(D) (4)设是矩阵,是矩阵,则(A)当时,必有行列式(B)当时,必有行列式(C)当时,必有行列式 (D)当时,必有行列式(5)设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)设是由方程和所确定的函数,其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求四、(本题满分5分)求其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧.五、(本题满分6分)设函数二阶可导且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线,上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为,区间上以为曲线的曲边梯形
3、面积记为,并设恒为1,求曲线的方程.六、(本题满分7分)论证:当时,七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设为椭球面的上半部分,点为在点处的切平面,为点到平面的距离,求九、(本题满分7分)设(1)求的值.(2)试
4、证:对任意的常数级数收敛.十、(本题满分8分)设矩阵其行列式又的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为求和的值.十一、(本题满分6分)设为阶实对称矩阵且正定,为实矩阵,为的转置矩阵,试证为正定矩阵的充分必要条件是的秩十二、(本题满分8分)设随机变量与相互独立,下表列出了二维随机变量联合分布率及关于和关于的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.X Y1 十三、(本题满分6分)设的概率密度为,是取自总体的简单随机样本(1)求的矩估计量.(2)求的方差1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1
5、)【答】 【详解1】 【详解2】 (2) 【答】 【详解】 故本题应填(3) 【答】 ，其中为任意常数. 【详解】 特征方程为：，解得. 故的通解为，由于非齐次项为为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为，代入原方程求得, 故所求解为 故本题应填，其中为任意常数.(4) 【答】 【详解】 因为 故矩阵的n个特征值是n和0（n-1重） 因此本题应填(5) 【答】 【详解】 根据加法式有 由题A,B和C两两相互独立，,因此有 , 从而 解得 又根据题设 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) （1） 【答】
6、 应选（A） 【详解】 的原函数可以表示为，于是 当为奇函数时，从而有 即 为偶函数. 故（A）为正确选项，至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： 是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除（B）； 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除（C）； 在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除（D）。 （2） 【答】 应选（D） 【详解】 因为 可见，在处左、右导数相等，因此，在处可导， 故正确选项为（D）. (3) 【答】 应选（C） 【详解】 由题设知，应先将从作偶延拓，使之成为区间上的偶函数，然后再作周期（周期2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有， （4）
7、 【答】 应选（B） 【详解】 因为为m阶方阵，且 秩 当时，由上式可知，即不是满秩的，故有行列式 因此，故正确选项为（B）. （5） 【答】 应选（B） 【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布， 因此 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为知，（B）为正确选项。三、(本题满分6分)设是由方程和所确定的函数,其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求【详解】分别在和的两端对求导，得 整理后得 解此方程，得 四、(本题满分5分)求其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧.【详解】添加从点沿到点的有向直线段,则 利用格林公式，前一积分 其中为所围成的半
8、圆域，后一积分选择为参数，得 可直接积分 故 五、(本题满分6分)设函数二阶可导且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线,上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为,区间上以为曲线的曲边梯形面积记为,并设恒为1,求曲线的方程.【详解】 曲线上点处的切线方程为 它与轴的交点为由于，因此 于是 又 根据题设 ,有 ， 并且 ，两边对求导并化简得 这是可降阶得二阶常微分方程，令，则上述方程可化为 ，分离变量得 解得，即 从而有 根据可得 故所求曲线得方程为 六、(本题满分7分)论证:当时, 【详解1】 令，易知 又 可见，当时，当时， 因此，有当时， 又由及是单调增函数推知，当时，当时，因此进一步有，
9、即证之： 当时，【详解2】 先对要证的不等式作适当变形，则当时，等价于当时，；当时，；于是令 则 又因为，可见有 当时， 当时， 从而当时，有 即当时，七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.) 【详解1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥
10、的抓斗提升至井口需作功 其中是克服抓斗自重所作的功；是克服缆绳重力作的功；为提出污泥所作的功。由题意知 将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为 从而. 在时间间隔t,t + dt内提升污泥需作功为 将污泥从井底提升至井口共需时间，所以 因此，共需作功 【详解2】 作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到x 处时，作用力包括抓斗的自重400 N,缆绳的重力50(30x)(N )，污泥的重力即 于是 八、(本题满分7分)设为椭球面的上半部分,点为在点处的切平面,为点到平面的距离,求【详解】令设为上任意一点，则的方程为 即 从而知 这里 由曲线方程知 于是 因此 故有 九、(本题满分7分)设(1)求的值.(2)试证:对任意的常数级数收敛. 【详解】（1）因为 又由部分和数列 有 因此 （2） 先估计的值，因为
