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1、第一章 静电场中的电介质1-1 半径为a的 球带电量为q,电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。 解: 由题意可知,可设 再由于 ,代入可以求出常数 即 所以 当 时 由高斯定理可知 ; 当 时 由高斯定理可知 1-2 电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。求其对以下各点的电距:(1)立方体中心;(2)某一面的中心;(3)某一顶角;(4)某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷,重新计算上述问题 解 :由电矩的定义 (一)八个电荷均为正电荷的情形 (1)立方体的在中心: 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为 ,故 (2)某一面心: 该面的四个顶点到此面
2、心的矢量和 ,对面的四个顶点到此点的矢量和 故;(3)某一顶角 :其余的七个顶点到此顶点的矢量和为:故;(4)某一棱的中心 ;八个顶点到此点的矢量和为 故; (二)八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似;1-3 设正、负电荷q分别位于(0,0,/2)、(0,0,/2),如图所示。求场点P处电势计算的近似表达式,试计算在场点(0,0,),(0,0,)处电势的近似值,并与实际值比较 解:P 点的电势可以表示为: = 其中, 取场点分别为P1 (0,0,) P2(0,0,) 则对于P1点来说 , = 对于 P2来说 = =多极展开项去前两项 = 其中 =1 , 把P1 (r=)点和P2 (
3、r=)点代入上式可得 = =比较可得 P1点 , 实际值 近似值 P2点 , 实际值 近似值1-4 分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形,并给出其相应的电偶极子强度,电四极子强度,电八极子强度。 解 : 参考课本P21 图1-10 偶极子强度 ; 四极子强度 ; 八极子强度1-5 试证明位于(0,0,)的点偶极子(方向沿Z轴)在场点的的展开式 为 = 解 : 点电荷的多极展开式为 = +. 对于正电荷+q来说 =/2 = +. 对于负电荷-q来说 =/2 = +. = +. = +. = +. = 证毕1-6 (1)试证明电偶极子()在电场E中的转矩势能分别为: ; =- (2)指出偶极
4、子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。 (3)当和E的夹角从变到时,求电场力所做的功和偶极子的势能变 化。 解 (1)转矩 = = 2q = q = 势能 W = -q =-q =- (2)M=0 ,=0, 平衡位置 =0, W = -E 能量最低,稳态平衡 =, W = E 能量最大,不稳定 (3)电场力做功,是减少 因此 d为负 A= 势能变化 W = W2- W1 = 因此 : 保守力做功等于势能增量的负值 A = -W1-7 两个电偶极子、相距,讨论两偶极子间的相互作用能。 解: 先假定 两个偶极子均与R成角,其他情形与此类似 W=-= 偶极子在处的电势为 = = W= = = = =
5、1-8 什么是电介质的极化?介质极化是由哪些因素决定的? 答案略1-9 什么叫退极化场?试用极化强度P来表示一个介电常数的为的平板介质电容器的退极化场,宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。 解 : 极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场 = -=1-10 在均匀电场中放一个半径为a的导体球,求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入,对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。 解: 导体球外 2 = 0 ra 边界条件为 :(1)由于导体球为一个等势体 因此 r=a= (2)= 有 A1=-E0 An = 0 (n) 代入边界条件可知
6、: B0 = a Bn 0 (n) -E0a + B1/a =0 因此 B1= 所以 如果导体球接地 则 从而有 所以 极化电荷产生的电势,电场为 =-P 导体球的偶极矩为: 导体球的极化率为:1- 11 试证明在电场中引入一偶极矩为的分子,则该分子具有的极化势能 为,其中为分子的极化率。 解 :假定 分子固有偶极矩沿分子长轴取向 分子在电场感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为 其中 = = () = ()分子的势能为固有偶极矩势能(-)和感生偶极矩(-)之和 1-12 H2O分子可以看成是半径为R的离子与两个质子()组成,如图所示,其中,间夹角为2,试证明分子偶极矩值为 = 解 : 分子
7、的 固有偶极矩为: 由于O2-受到H+H+的作用,使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位 移为x 原子核的库仑吸引力 =- 2H+产生的电场力 为: 由于=F 所以 此时的分子偶极矩为 : = 感生偶极矩为 由于 , 所以 总的偶极矩为 =+1-13 在无限大电介质()中有均匀电场,若在该介质中有一半径为a、介电常数为介质球,求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。讨论介质球带来的影响,并将结果推广到 : (1)1 (2)1 解 : 由题意可解得: - - =(1) 当 时 ; 空腔球 (2) 当 时 ; 1-14 (1)求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场,已知细棒的截面积为 ,长
8、度为,极化强度为P,如图(a)所示。 (2)一无限大的电介质平板,其极化强度为P,方向垂直于平板面。求板 中点O处的退极化场。已知板厚为d,如图(b)所示。 (3)求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r, 极化强度为P,如图(c)所示。 (4)从(1)、(2)、(3)的计算结果,可以给出什么样的结论(电介质 地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系)? 解 (a)有题意可知 : q = s = Ps 重点处的场强为: 由于存在 因此 (b)由于 所以 : (c) 可见沿着极化方向,纵向尺度越大,横向尺度越小,退极化电场越弱;反 之,纵向尺度越小,横向尺度越大,退极化电场越
9、强。1-15 试证明,昂沙格有效电场也适用于非极性介质,即昂沙格有效电场概括了洛伦兹有效电场。 解 : 对于非极性电介质来说有 即 (由于,) 再由于 所以 : 这是 昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。证毕1-16 为什么说克莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。由该方程可以看出,随材料密度的提高,将如何变化。并给出克莫佯谬;即当密度到一定值时;密度再提高时。并论证这在实际情况中使不可能 的。 解 :有克-莫方程 其中是宏观参数,为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数; 故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式; 由摩尔极化表征 : 由此式可得, 当介质密度升高到 , , 则有 当介质密度升高到 , 1, 则有 0 对于电介质来说显然不可能为无穷大和为负值.1-17 已知CO2 在T300K时, , ,n = 1.000185,求其固有的偶极矩。 解 : 对于 CO T = 300K 时,=1.0076,n = 1.000185, n0=光频时 克-莫方程 对于极性气体来说,克-莫方程则为: = 29.410-30所以 : 1-18 在某一种偶极子气体中,若每个偶极子的极化强度为1Debye,计算在室温下使此气体达到取向极化饱和值时所需要的电