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1、第一章 静电场中的电介质1-1 半径为a的 球带电量为q，电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。 解： 由题意可知，可设 再由于 ，代入可以求出常数 即 所以 当 时 由高斯定理可知 ； 当 时 由高斯定理可知 1-2 电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题 解 ：由电矩的定义 （一）八个电荷均为正电荷的情形 （1）立方体的在中心： 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为 ，故 （2）某一面心： 该面的四个顶点到此面
2、心的矢量和 ，对面的四个顶点到此点的矢量和 故；（3）某一顶角 ：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：故；（4）某一棱的中心 ；八个顶点到此点的矢量和为 故； （二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似；1-3 设正、负电荷q分别位于（0，0，/2）、（0，0，/2），如图所示。求场点P处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，），（0，0，）处电势的近似值，并与实际值比较 解：P 点的电势可以表示为： = 其中, 取场点分别为P1 (0,0,) P2(0,0,) 则对于P1点来说 , = 对于 P2来说 = =多极展开项去前两项 = 其中 =1 ， 把P1 (r=)点和P2 (
3、r=)点代入上式可得 = =比较可得 P1点 ， 实际值 近似值 P2点 ， 实际值 近似值1-4 分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶极子强度，电四极子强度，电八极子强度。 解 ： 参考课本P21 图1-10 偶极子强度 ; 四极子强度 ; 八极子强度1-5 试证明位于（0，0，）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的的展开式 为 = 解 ： 点电荷的多极展开式为 = +. 对于正电荷+q来说 =/2 = +. 对于负电荷-q来说 =/2 = +. = +. = +. = +. = 证毕1-6 （1）试证明电偶极子（）在电场E中的转矩势能分别为： ； =- （2）指出偶极
4、子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。 （3）当和E的夹角从变到时，求电场力所做的功和偶极子的势能变 化。 解 （1）转矩 = = 2q = q = 势能 W = -q =-q =- （2）M=0 ,=0, 平衡位置 =0, W = -E 能量最低，稳态平衡 =, W = E 能量最大，不稳定 （3）电场力做功，是减少 因此 d为负 A= 势能变化 W = W2- W1 = 因此 ： 保守力做功等于势能增量的负值 A = -W1-7 两个电偶极子、相距，讨论两偶极子间的相互作用能。 解： 先假定 两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似 W=-= 偶极子在处的电势为 = = W= = = = =
5、1-8 什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？ 答案略1-9 什么叫退极化场？试用极化强度P来表示一个介电常数的为的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。 解 ： 极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场 = -=1-10 在均匀电场中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。 解： 导体球外 2 = 0 ra 边界条件为 ：（1）由于导体球为一个等势体 因此 r=a= （2）= 有 A1=-E0 An = 0 (n) 代入边界条件可知
6、： B0 = a Bn 0 (n) -E0a + B1/a =0 因此 B1= 所以 如果导体球接地 则 从而有 所以 极化电荷产生的电势，电场为 =-P 导体球的偶极矩为： 导体球的极化率为：1- 11 试证明在电场中引入一偶极矩为的分子，则该分子具有的极化势能 为，其中为分子的极化率。 解 ：假定 分子固有偶极矩沿分子长轴取向 分子在电场感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为 其中 = = （） = （）分子的势能为固有偶极矩势能（-）和感生偶极矩（-）之和 1-12 H2O分子可以看成是半径为R的离子与两个质子（）组成，如图所示，其中，间夹角为2，试证明分子偶极矩值为 = 解 ： 分子
7、的 固有偶极矩为： 由于O2-受到H+H+的作用，使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位 移为x 原子核的库仑吸引力 =- 2H+产生的电场力 为： 由于=F 所以 此时的分子偶极矩为 ： = 感生偶极矩为 由于 ， 所以 总的偶极矩为 =+1-13 在无限大电介质（）中有均匀电场，若在该介质中有一半径为a、介电常数为介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。讨论介质球带来的影响，并将结果推广到 ： （1）1 （2）1 解 ： 由题意可解得： - - =（1） 当 时 ； 空腔球 （2） 当 时 ； 1-14 （1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为 ，长
8、度为，极化强度为P，如图（a）所示。 （2）一无限大的电介质平板，其极化强度为P，方向垂直于平板面。求板 中点O处的退极化场。已知板厚为d，如图（b）所示。 （3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r， 极化强度为P，如图（c）所示。 （4）从（1）、（2）、（3）的计算结果，可以给出什么样的结论（电介质 地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系）？ 解 （a）有题意可知 ： q = s = Ps 重点处的场强为： 由于存在 因此 （b）由于 所以 ： (c) 可见沿着极化方向，纵向尺度越大，横向尺度越小，退极化电场越弱；反 之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化电场越
9、强。1-15 试证明，昂沙格有效电场也适用于非极性介质，即昂沙格有效电场概括了洛伦兹有效电场。 解 ： 对于非极性电介质来说有 即 （由于，） 再由于 所以 ： 这是 昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。证毕1-16 为什么说克莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。由该方程可以看出，随材料密度的提高，将如何变化。并给出克莫佯谬；即当密度到一定值时；密度再提高时。并论证这在实际情况中使不可能 的。 解 ：有克-莫方程 其中是宏观参数，为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数； 故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式； 由摩尔极化表征 ： 由此式可得， 当介质密度升高到 ， ， 则有 当介质密度升高到 ， 1， 则有 0 对于电介质来说显然不可能为无穷大和为负值.1-17 已知CO2 在T300K时， ， ，n = 1.000185，求其固有的偶极矩。 解 ： 对于 CO T = 300K 时，=1.0076，n = 1.000185, n0=光频时 克-莫方程 对于极性气体来说，克-莫方程则为： = 29.410-30所以 ： 1-18 在某一种偶极子气体中，若每个偶极子的极化强度为1Debye，计算在室温下使此气体达到取向极化饱和值时所需要的电
