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1、 二次函数专题一和最小、差最大问题三角形存在问题例.已知，抛物线交轴于点A、B，交轴于点C.1、线段最值线段和最小点P是抛物线对称轴上一动点，当点P坐标为多少时，PA+PC值最小.线段差最大点Q是抛物线对称轴上一动点，当点Q坐标为多少时，|QA-QC|值最大.铅垂法例.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）B（4，m）在直线线y=x+2上，m=4+
2、2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx4上，c=6，a=2，b=8，y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为例.如图，已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图，若点E为第二象限抛物线上一
3、动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标例3.如图1，抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC=90（1）填空：OB= ，OC= ；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值函数等面积例.如图所示，二次函
4、数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值；（2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，求点D的坐标解：(1)将(3，0)代入二次函数解析式，得-32+23+m=0解得，m=3(2)二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得-x2+2x+3=0解得x=3或x=-l点B的坐标为(-1，0)(3) SABD=SABC，点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称， 由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为(0，3)，点D的坐标为(2，3)。例.已知抛物线的
5、对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点与y轴交于点C其中AI(1，0)，C(0，)（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）如图l当PBC面积与ABC面积相等时求点P的坐标；解：(1)由题意，得，解得抛物线的解析式为(2)令，解得B(3，0)当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，设直线AP的解析式为，直线AP过点A(1，0)，代入求得直线AP的解析式为解方程组，得点当点P在x轴下方时，如图1设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得综上所述，点P的坐标为：，二次函数与直角
6、三角形例.如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），将抛物线C1绕点B旋转180后得到抛物线C2，求C2的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C3抛物线C3的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？（1） 由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得，顶点P的为（-2，-5），（2分）点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+2）2-5，解得，a=59；（4
7、分）（2） 抛物线C2是由抛物线C1绕点B旋转180得到的，P点坐标为（-2，-5）顶点M的坐标为（4，5）设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线C2过点B（1，0），代入B点解得：a=-59，故C2的解析式为：y=-59（x-4）2+5（3） 抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到，顶点N、P关于点Q成中心对称，点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），（9分）作PHx轴于H，作NGx轴于G作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=
8、m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，（10分）PNF=90时，PN2+NF2=PF2，解得m=443，Q点坐标为（ 193，0）当PFN=90时，PF2+NF2=PN2，解得m=103，Q点坐标为（ 23，0）PNNK=10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（ 193，0）或（ 23，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形例、如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线ymx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对
9、称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，抛物线解析式为yx22x+3对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线ymx+n，得，解之得：，直线ymx+n的解析式为yx+3；（2）设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x1代入直线yx+3得，y2，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC2
10、18，PB2（1+3）2+t24+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2PC2即：18+4+t2t26t+10解之得：t2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2PB2即：18+t26t+104+t2解之得：t4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2BC2即：4+t2+t26t+1018解之得：t1，t2；综上所述P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，） 或（1，）函数与平行四边形例、已知抛物线yax2+bx+8（a0）经过点A（3，7），B（3，5），顶点为点E，抛物线的对称轴与直线AB交于点C（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上A
11、，E两点之间的部分（不包含A，E两点），是否存在点D，使得SDAC2SDCE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标【解答】解：（1）设直线AB的解析式为ykx+m，把点A（3，7），B（3，5）代入，得，解得：，直线AB的解析式为y2x1，把点A（3，7），B（3，5）代入抛物线yax2+bx+8（a0），得，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+8（2）yx2+2x+8（x1）2+9，顶点E（1，9），设点D（m，m2+2m+8），C（1，1），过点D作y轴的平行线交直线
12、AB于点M，则M（m，2m1），SDAC，SDCE，SDAC2SDCE2m2+182（44m），解得m1或m5（舍去），存在点D（1，5），使得SDAC2SDCE（3）A（3，7），E（1，9），设点P（x，y），当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：当AE为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为（2x，2y），点Q在x轴上，y2，当y2时，x2+2x+82，解得或，点P坐标为（，2）或（，2），当AP为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为（x4，y16），点Q在x轴上，y16，当y16时，x2+2x+816，方程无解，舍去当PE为对角线时，根据中点坐标公式可
13、得点Q坐标为（x+4，y+16），点Q在x轴上，y16，当y16时，x2+2x+816，解得x6或x4点P坐标为（6，16）或（4，16），综上所述，点P的坐标为（，2）或（，2）或（6，16）或（4，16）如图1，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0
