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1、绝密启用前上海市杨浦高级中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题(本大题共有10小题,满分40分)考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.已知函数的图像如图一所示,则该函数的值域为.2.已知集合,则.(结果用区间表示)3.已知函数,则它的反函数.图一4.已知函数,满足,且当时,则_.5.已知是奇函数,满足,且在区间内是严格增函数,则不等式的解集是.(结果用区间表示)6.已知,函数是定义在上的偶函数,则的值是.7.函数,的最小值是.8.设方程的解为
2、,的解为,则.9.若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长,则实数的取值范围是.10.已知,定义运算“”:. 设,且关于的方程恰有三个互不相等的实根,则的取值范围是.二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号,选对得3分,否则一律得零分11.下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是 ( )A.与; B.与;C.与; D.与.12.函数的一个零点所在的区间是 ( )A.; B.; C.; D.13.已知,则“”是“”的 ( )A.充分非必要条件; B.必要非充分条件;C.充要条件; D.既非充分又非必要条件.14
3、.已知函数(其中). 若,则关于的方程解的个数为 ( )A.1; B.2; C.3; D.4.三、解答题(本大题共有5小题,满分48分)考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤15.(本题满分8分)已知实数,判断函数的奇偶性,并说明理由.16.(本题满分8分)已知命题:幂函数的图像过原点;命题:函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题,求实数的取值范围.17.(本题满分8分,其中第1小题满分4分,第2小题满分4分)已知函数.(1)判断函数的单调性,并证明;(2)用函数观点解不等式:.18(本题满分12分,其中第1小题满分4分,第2小题满分8分)经过多年的运作,“双
4、十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2020年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销. 经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量(万件)与促销费用(万元)满足关系式:(其中,为正常数),已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用),每一件产品的销售价格定为元. 假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求,试回答以下问题:(1)将该产品的利润(万元)表示为促销费用(万元)的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.19.(本题满分12分,其中第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分4分)定义:如
5、果函数在定义域内给定区间上存在实数,满足,那么称函数是区间上的“平均值函数”,是它的一个均值点.(1)判断函数是否是区间上的“平均值函数”,并说明理由;(2)若函数是区间上的“平均值函数”,求实数的取值范围;(3)若函数是区间上的“平均值函数”,且是函数的一个均值点,求所有满足条件的有序数对.参考答案1.答案 2. 答案 3.答案4.答案 5.答案 6.答案7.答案 8. 9. 10.11-14DBDC15.当且时,函数为非奇非偶函数;当时,函数为奇函数.16.若为真命题,则,解得;若为真命题,则,解得. 因为命题和命题只有一个为真命题,所以. 17.(1)任取,所以函数在区间上是严格增函数.
6、 (2)由(1)可知函数在区间上是严格增函数,且,因此由可得. 18.(1)由题意得,将代入,化简得. (2),等号当且仅当,即时成立. 因此,当时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,最大利润为13万元;当时,函数在上是严格增函数,所以当时,函数取到最大值,即促销费用投入万元时,厂家的利润最大,最大利润为万元. 19.(1)由“平均值函数”的定义,存在,满足,因此是区间上的“平均值函数”. (2)若函数是区间上的“平均值函数”,则存在,满足,即关于的方程在区间内有解. 参变分离,将方程转化为,函数的值域为,因此. (3)若函数是区间上的“平均值函数”,且是函数的一个均值点,则,即,得到,其中,满足条件的解为,即所有满足条件的有序数对为.