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1、直线与圆的位置关系教学实录李飞一、 教学目标: ( 1) 深刻理解直线和圆的三种位置关系与相应二元二次方程组的解的对应关系, 掌握根据给定直线和圆的方程来判断其位置关系的两种方法;( 2) 能依据直线和圆的方程熟练求出它们的交点坐标, 能利用题设条件解答涉及直线与圆的位置关系的简单综合题;( 3) 通过合作交流、推理探究, 提高学生的思维能力, 体验数学创新的快乐, 激发学生的求知欲.教学重点: 直线和圆的三种位置关系的判断方法及其运用.教学难点: 合理选择方法准确解答直线与圆的位置关系问题.二、教学过程师：上课！生：老师好！师: 上节课我们学习了圆的一般方程, 请同学们回答下面的问题:( 幻
2、灯片) 引例: 若x 2 + y2 - 2mx + 2my + 2- m2 = 0 表示一个圆的方程, 试求实数m 满足的条件, 并写出该圆的圆心坐标和半径.生A: 实数m 满足的条件是m X 0, 圆心坐标为(m, - m) , 半径为m.师: 是否需要完善一下?生A: ( 轻声地) 半径应该是| m | .师: 很好! 我们在解题时首先要做到细心, 其次需要认真思考. 现在请大家想想看, 从该题的结果中你能发现该圆有什么特殊性?( 短暂停顿, 提问学生讲出自己的发现. )生B: 该圆的圆心在直线y = - x 上.生C: 该圆圆心的两坐标的绝对值都等于半径.师: 生B 的发现说明该圆与直线
3、y = - x 相交, 生C 的发现说明该圆与两坐标轴都相切. 这正是我们今天要研究的内容: 直线与圆的位置关系( 板书课题) .师: 对我们来说, 直线与圆的位置关系并不陌生, 因为我们在初中平面几何中就已经学习过. 大家说, 共有哪几种位置关系?学生( 齐) : 相离、相切、相交.师: 哪位同学能告诉大家, 如何判断直线与圆的位置关系?生D: 可利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.师: 请你说得具体些.生D: 当圆心到直线的距离大于半径时, 直线与圆相离; 等于半径时, 直线与圆相切; 小于半径时, 直线与圆相交.师: 讲得很清楚. 生D 所说的方法是从几何特点即 “形” 的方面来
4、加以判断的. 在解析几何中,当我们已知圆心坐标与直线方程时, 圆心到直线的距离是可求的, 因此我们能将该距离“ 数量化”具体的就是( 板书) :设直线l : Ax + By + C = 0, 圆C: ( r 0) , 则圆心C( a, b) 到直线l 的距离d =22xayb 2aAbBC方法1 当d r 时, 直线l 与圆C 相离; 当d = r 时, 直线l 与圆C 相切; 当d r 时, 直线l 与圆C 相交.师: 上述方法将初中的几何判断方法与我们刚学习的点到直线距离公式结合起来了, 它在一定程度上体现了” 数”与”形” 的统一. 如果我们再从形的方面分析不难得到 : 当直线l 与圆C
5、 相离时, 直线l 与圆C 没有公共点; 当直线l 与圆C 相切时, 直线l 与圆C 有且只有一个公共点; 当直线l与圆C 相交时, 直线l 与圆C 有两个公共点.( 在教师的叙述过程中, 部分学生附和. )师: 请同学们思考: 类比两条直线的交点知识, 直线l 与圆C 的公共点坐标应满足什么条件?生E: 其坐标既满足直线方程, 又满足圆的方程, 即是这两个方程的公共解.师: 既然如此, 我们完全可以从研究联立直线方程与圆的方程所得的方程组的解的个数出发来判断直线与圆的位置关系, 此时方程组解的个数就等价于直线l 与圆C 公共点的个数. 为研究方便, 我们可考虑用圆的一般方程.( 板书) 设圆
6、C: 联立方程组20xyDF2ABxEy方法2 当方程组无解时, 直线l 与圆C 相离;当方程组有且只有一组解时, 直线l 与圆C 相切;当方程组有两组不同解时, 直线l 与圆C 相交.师: 我们所得到的两种判断方法, 都是从” 形” 的视角出发 , 用”数量”关系来加以呈现, 将几何问题有效地” 数量化 ”, 体现了”数形结合”思想方法的重要性 .师: 现在就让我们用上述方法具体判断直线与圆的位置关系.( 幻灯片) 例1 判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系:( 1) l : 4x + 3y = 40, C: x 2 + y 2 = 36;( 2) l : y = - x + 1, C:
7、 x 2 + y 2 = 25;( 3) l : 4x - 3y - 8 = 0, C: x 2 + y 2 + 2y = 0;( 4) l : x - y - 5 = 0, C: x 2 + y2 - 2x + 4y +4 = 0. 巡视中发现学生多数用方法1 判断.师: 请大家用两种方法分别进行判断.提问检查答案是: 题( 1) 相离, 题( 2) 相交, 题( 3) 相切, 题( 4) 相离.师: 请同学们告诉我, 题( 2) 的交点坐标和题( 3) 的切点坐标.生F: 题( 2) 的交点坐标分别是(- 3, 4) 和( 4, - 3) .生G: 题( 3) 的切点坐标是(45, -85
8、) .师: 这些点的坐标是我们通过解联立直线与圆的方程组而得到的.生H 忽然举手发言: 老师, 我在知道题( 3) 中直线和圆相切后, 是先求出过圆心且与直线l 垂直的直线方程3x + 4y + 4 = 0, 再解方程组4x - 3y - 8 = 0,3x + 4y + 4 = 0,得切点坐标(45, -85) , 我觉得这样求切点坐标要简单些.( 听了生H 独特的解法, 我投去了赞许的目光, 并给予了肯定. )师: 生H 的方法是利用切线的性质, 避免了解二次方程, 这表明恰当分析题设条件是解答题目的前提, 尤其是在解答具有隐含条件的题目时更显得重要. 下面, 就请同学们一起来求解例2.(
9、幻灯片) 例2 设m R, 试判断直线l: mx- y + 1 - m = 0 与圆C: x2+ ( y - 1)2= 5 的位置关系.( 学生纷纷动手, 部分邻座的同学在小声议论, 教者认真巡视. )由于有了教者之前的暗示, 部分学生在认真审视该题的结构特点后,发现了动直线l 过圆C 内点P ( 1, 1) ( 图1) , 迅速地判断出直线与圆相交. 但也有学生仍然用距离方法d =| m |m2 + 1| m |m2= 1 5 进行判断, 或通过方程组mx - y + 1 - m= 0,x2+ ( y - 1)2= 5 从而判断直线与圆相交.( 教者用实物投影将有关学生的上述三种解法的主要部
10、分一一展示. )师( 点评) : 若直线方程改为mx - y+ 2- m=0, 则用距离d =| 1 - m |_m2+ 1来解, 一时难以比较它与半径的大小, 用解方程组的方法又因含参变量m 而显得繁琐, 因此能发现该直线过圆内一点( 此时点为P ( 1, 2) ) 而作出判断无疑是最佳方法.( 话锋一转) 给大家一项新任务, 请快速求出例2中直线l 被圆C 截得的弦长的最大值与最小值.由于有了前面的讨论, 学生很快知道当l 过圆心C 时, 弦长最大为2 5, 当l L PC 时, 弦长最小为4.师: ( 引出新的问题) 过圆内一点的直线与圆相交, 过圆上一点的直线与圆的位置关系如何呢?过圆
11、外一点呢?( 在得到学生的正确回答后给出下面的例题)( 幻灯片) 例3 自点A( - 1, 4) 作圆( x -2) 2 + ( y - 3) 2 = 1 的切线l , 求切线l 的方程.该题是课本第102 页的例2, 考虑到学生课前已预习过, 初步了解课本上的两种解法( 解法1 和解法2) , 因此我将课本的解答过程用幻灯片呈现出来( 略) , 和学生一起对照稍作简单分析说明( 图2) , 然后提出下面问题:师: 本题中点A 在圆外, 应该有两条切线, 课本的两种方法都强调说明与x 轴垂直的直线和圆不相切, 而后求出的结果是两条切线的斜率都存在. 但若改点A 的坐标为( 1,52) 呢?结果
12、如何?生I: 直线x = 1 是其中的一条切线, 即切线仍有两条x = 1 和3x + 4y - 13 = 0.师: 显然, 用直线的点斜式方程求解只能得到其中的一条3x + 4y- 13 = 0. 因此我们在设出斜率求解时一定要注意斜率不存在的直线是否符合题设, 不可漏解, 确保完善性. ( 教者继续引导学生开始新的探究) 本题除了课本的两种方法外, 还有其他方法吗?( 很多学生在窃窃私语, 寻求新的方法. )生J: 我想设出切点坐标, 利用/ 切线垂直于过切点的半径0 这一性质来解.师: 你的想法很好!你说, 我来写.( 板书) 解法3 设切点为B( x 0 , y 0 ) , 圆心为C(
13、 2, 3) , 则由切线性质得kAB . k BC = - 1, 即y 0 4 y 0 - 3- . _=-1x 0 + 1 x 0 - 2 化简得x20+ y20- x 0 - 7y0+ 10 = 0 . 又B 点在圆C 上, 可得( x 0 - 2)2+( y0 - 3) 2 = 1, 即x20+ y20- 4x 0- 6y 0+ 12 = 0 . - 得3x 0 - y 0 - 2 = 0, 回代到方程 可解得x 0 = 2,y 0 = 4或x 0 =75,y 0 =115.因此, 所求切线l 的方程是y = 4 或3x + 4y - 13 = 0.( 生J 面带喜色地说出了自己的解法
14、, 颇有成就感. )师: 生J 的方法新颖自然, 虽然也用了直线斜率, 但结果却是对的. 大家帮他看看, 其解题过程有没有问题?生K: 得到的x 0 = 2,y0 = 4虽然满足题意, 但不满足kAB . kBC = - 1, 因此过程不够严谨.师: 能否用我们学过的知识来变通一下, 使其严谨?生K: 用向量的方法, 即AB L BC.师: 你说得太好了! 由AB L BC 可得( x 0 +1) ( x 0 - 2) + ( y0 - 4) ( y 0 - 3) = 0, 也就是x20+y20- x 0 - 7y0 + 10 = 0.( 学生能想到用向量的方法, 说明思路开阔.一种新颖的解法
15、在师生的共同探讨下得到完善.在此基础上教者及时给出下面变式题, 引导学生进一步探究. )变题1 点A(- 1, 4) 发出的光线l 射到x 轴上, 被x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆( x - 2)2+ ( y - 3) 2 = 1 相切, 求光线l 所在直线的方程.让学生思考片刻后, 陈述解法思路.生L: 根据光学知识, 点A(- 1, 4) 关于x 轴的对称点Ac(- 1, - 4) 必在反射光线上, 这样就把问题转化为/ 自点Ac(- 1, - 4) 作圆( x- 2) 2 +( y - 3) 2 = 1 的切线, 求切线的方程0.师: 好!你的转化手段用得很好, 但这样求出的切线是
16、光线l 所在直线吗?生L: 不是, 但可由光线l 所在直线的斜率与所求切线的斜率互为相反数而得解.师: 对, 要注意准确. 你是着眼于点的对称性,能否从圆的对称性考虑呢?( 此话一出, 学生恍然大悟. )生L: 对呀, 圆C 关于x 轴的对称圆必与入射光线相切, 同样可达到转化的效果.( 学生尝到分析的甜头, 很是高兴, 教者要求学生自选其中一种方法求解. )变题2 变题1 中,若其反射光线所在直线被圆( x - 2) 2 + ( y - 3) 2= 1 截得的弦长为2 155, 求光线l 所在直线的方程.师: 弦长条件怎么用?生M: 我想可以用弦长公式( 听了生M 的发言, 有的学生感到茫然) .师: 显然, 你是受参考资料的影响, 可以作为一种思路求解. 但我现在要求大家从/ 形0 入手分析, 看能否得到其他方法. ( 教者恰当的定向引导有利于学生的思维深入) 设弦为EF , 那么EF 与圆心C 之间有什么联系呢?在
