15.3平面与平面平行、垂直的判定与性质

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1、第 1 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂直的判定与性质15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性 质【考纲要求】1.了解平面与平面的位置关系；2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。【知识回顾】一.平面与平面的位置关系 两 平 面 平 行 两 平 面 没 有 公 共 点 两 平 面 斜 交两 平 面 相 交 两 平 面 有 一 条 公 共 直 线 两

2、 平 面 直 交二二面角与二面角的平面角相关概念1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面.3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角的平面角 .其范围为l0,184.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。三平面与平面平行1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面 ，平面 ，若 ，则 .2.平面与平面平行的

3、判定定理（不要求证明）文字语言 图形语言 符号语言判定定理 1如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行 ”）abP abP判定定理 2如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ll判定定理 3 平行于同一个平面的两个平面平行 注：判定定理 1 的推论：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行OABl第 2 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂直的判定与性质3.平面与平面平行的性质定理文字语言 图形语言 符号语言性质定理 1如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面（简记

4、为“面面平行 线面平行 ”）aa 性质定理 2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行 线线平行 ”）baab 性质定理 3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线lll问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直 线是否平行？4.两平面平行间的距离（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.（2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.（3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度.（4）两个平行平面的公垂线段都相等.四平面与平

5、面垂直1.定义：如果两个平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为 .2.平面与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言 符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（简记为“线面垂直 面面垂直”）ll注：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则两平面也垂直3.平面与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言第 3 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂直的判定与性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（简记为“面面垂直 线面垂直 ”）lmlm五空间位置关系的转化根据空间线线、线面、面面关系的判定及性质定理，可知它们的

6、关系是可以互相转化的，这一种转化是解决位置关系的重要方法，是对立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:线面关系线线关系 面面关系六规律与技巧1平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很容易寻求线线平行但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此，寻求三角形的中位线也是解题的关键对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平行的空间问题通过转化可变通为线线平行，因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措施2立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的3空间垂直问题的证

7、明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线平移构造，再利用线线垂直与线面垂直相互转化，完成题目的证明4.立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本我们在复习备考中，一定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的时间放在偏题、怪题上【例题精讲】1.如图,在正方体 中,其棱长为 1.1ABCD求证:平面 平面 .1证明：方法一： 四边形 为平行四111ABAC 1AC边形 1ACD 平 面平 面 1111DABCABCD

8、C 平 面同 理 ， 平 面 平 面 平 面方法二：易知 确定一个平面 ，于是，1和 1第 4 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂直的判定与性质111ACAC平 面 平 面平 面 平 面平 面 平 面 11ABC 平 面平 面1111BADCD 平 面 平 面 平 面 平 面2.在正文体 中， 分别是棱 的中点.1AD,MNEF11,ABCD求证：平面 平面 .MN FB证明：如图，连接 MF.分别是 的中点，且四边形 为正方形，,F1,C1CD,又 ,1AD ,A 四边形 ADFM 为平行四边形，.MF又 平面 EFDB，同理可证， 平面 EFDB.N平面 AMN, ,ANAM平

9、面 平面 . EDB3.如图所示， 为正三角形， 平面 ,且 是 EA 的中点.CC,ABDCE 2,ABDM求证：（1）DE=DA；（2）平面 平面 ；A（3）平面 平面 .E（1）方法一:如图,取 EC 的中点 F,连接 DF.平面 ABC, .CCB.2,BDF又 .,E 四边形 BDFC 是平行四边形.,BCFC在 和 中,RtDEtAB12.tFtED方法二:如图,取 AC 中点 N,连接 BN、MN是正三角形，BNAC 于点 N.ABC又EC平面 ABC， 平面 CAE，平面 ACE平面 ABC，交线为 AC.BN平面 ACE.第 5 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂

10、直的判定与性质又M、N 分别是 AE、AC 中点,在ACE 中， ,12MCE又 BDCE 且 2BD=CE, BDN 四边形 BDMN 是平行四边形, DM 平面 ACE.DBN又 平面 ACE，DMAE 于点 M.AE又M 是 AE 中点，DA=DE.(2)取 CA 的中点 N，连接 MN、BN，则 .12MNEC又BDEC 且 EC=2BD, MN DB.DBN 点在平面 BDM 内.EC平面 ABC， 平面 ABC，ECBN.ABC 为正三角形，BNAC.又 ACEC=C， 平面 ACE， 平面 ACE,ECACBN平面 ACE. 平面 MBN,BN平面 MBN平面 ECA，即平面 MBD平面 ECA.（3）DMBN,BN平面 ECA，DM平面 ECA.又 平面 DEA,平面 DEA 平面 ECA.DM4. 如图所示，在三棱锥 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC.SABC求证：ABBC.证明： 如图，作 AHSB 于 H，连接 EH、AE，平面 SAB平面 SBC，AH平面 SBC,AHBC.又 SA平面 ABC，SABC.又 SAAH=A, 平面 SAB,SABC平面 SAB.BCAB.第 6 页（共 6 页） 15.3 直线与平面平行、垂直的判定与性质