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1、解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法:1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r2=2a。第二定义中,r 1=ed1 r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中, ,当 r1r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第二定义中,ar1=ed1, r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与 “点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程
2、组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1) 与直线相交于 A、B ,设弦 AB 中
3、点为 M(x0,y0),则有 。)(12bayx 020kbyax(2) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有)0,(2 20(3)y 2=2px(p0 )与直线相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_2FAPHBQF PHy0xA (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 ,
4、因而易发现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。PFH(2)B 在抛物线内,如图,作 QRl 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。解:(1) (2, )连 PF,当 A、P 、F 三点共线时, 最小,此时 AF 的方程为 即 PFAHP )1(3024xyy=2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 ), (注:另一交点为 ( ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去)22,1(2) ( )1,4过 Q 作 QRl 交于 R,当 B、Q 、R 三点共线时, 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代入RBQFy2=4x 得 x= ,Q( ),点评:这是利用定义将“点点
5、距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例 2、F 是椭圆 的右焦点,A(1,1) 为椭圆内一定点, P 为椭圆上一动点。1342yx(1) 的最小值为 PA(2) 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问FP 题。解:(1)4- 5设另一焦点为 ,则 (-1,0)连 A ,PFF542)(2 FAaPaPAP当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 (2)3 作出右准线 l,作 PHl 交于 H,因 a2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e= ,21xy0ABCMD5 PHFPF2,1即 A当 A、
6、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为 3142Axca例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、M、C 共线,B、D、 M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” (如图中的 ) 。解:如图, ,D 26MBABAC即 (*)8点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2=15 轨迹方程为 1562y点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再移项,平方,相当
7、于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!4)1()1( 22yxyx例 4、ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。53分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。解:sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= 2RsinA53 BCA即 (*)6点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为 (x3)1692yx点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)x
8、y0MAB12例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x 2,X 22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。解法一:设 A(x1,x 12),B(x 2,x 22),AB 中点 M(x0,y 0)则 021219()(yx由得(x 1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x 1+x2)
9、2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 ,20204194xy19)(202020 xxy ,51940y当 4x02+1=3 即 时, 此时20x45)(min0)45,2(法二:如图, 322 ABFBAM , 即 ,32341 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451xyF120ABCDM 到 x 轴的最短距离为 45点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x 2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛
10、物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。 例 6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于)52(12myxA、B 、 C、D、设 f(m)= ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。CDAB分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准
11、线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防)()(2)(2)() CDABCDAB Xxxxxmf )()(AC )(2BXx此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。解:(1)椭圆 中,a 2=m,b 2=m-1,c 2=1,左焦点 F1(-1,0)12myx则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )5(m122)()(2 )(121 mx
12、xxCDABmfACDAB(2) )()(f当 m=5 时, 9210)(minf当 m=2 时, 34)(maxf点评:此题因最终需求 ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用 “点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、CCB坐标代入作差,得 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 , ,可见10kmyx 010mx12mx2xCB当然,解本题的关键在于对 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 是解CDABf)( CBxf)(此题的要点。3、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论
13、证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y” ,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距;如“x 2+y2”,令 ,则 d 表示yx2点 P(x,y)到原点的距离;又如“ ”,令 =k,则 k 表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜23xy率4、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点” ) ,以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x 轴上一动点 P,常设 P(t,0) ;直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P(x 1,y1)外,也可直接设 P(
14、2y,-1,y 1)(2)斜率为参数当直线过某一定点 P(x0,y0)时,常设此直线为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。5、代入法这里所讲的“代入法” ,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件 P1,P2求(或求证)目标Q”,方法 1 是将条件 P1代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2代入条件 P1,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。例
15、 3:已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上一动点,求 的最值。xy解:设 O(0,0) ,则 表示直线 OP 的斜率,由图可知,当直线 OP 与圆相切时, 取得最值,设最值为 k,则y xy切线:y=kx,即 kx-y=0圆(x-3) 2+(y-2)2=1,由圆心(3,2)到直线 kx-y=0 的距离为 1 得 ,1|23|k 4k 43,3maxminyxy例 4:直线 l:ax+y+2=0 平分双曲线 的斜率为 1 的弦,求 a 的取值范围.9162yx分析:由题意,直线 l 恒过定点 P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点 M 与点P 的连线的斜率即-a 的范围。解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点,且 AB 的斜率为 1,AB 的中点为 M(x0,y0)则: 1962yx-得 0196,02121 yxy即即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 C ,D7,17,1962