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1、解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r2=2a。第二定义中，r 1=ed1 r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中， ，当 r1r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义中，ar1=ed1， r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与 “点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程
2、组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法” ，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1） 与直线相交于 A、B ，设弦 AB 中
3、点为 M(x0,y0)，则有 。)(12bayx 020kbyax（2） 与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有)0,(2 20（3）y 2=2px（p0 ）与直线相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_2FAPHBQF PHy0xA (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 ，
4、因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。PFH（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1） （2， ）连 PF，当 A、P 、F 三点共线时， 最小，此时 AF 的方程为 即 PFAHP )1(3024xyy=2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 )， （注：另一交点为 ( )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）22,1（2） （ ）1,4过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q 、R 三点共线时， 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入RBQFy2=4x 得 x= ，Q( ),点评：这是利用定义将“点点
5、距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆 的右焦点，A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。1342yx（1） 的最小值为 PA（2） 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问FP 题。解：（1）4- 5设另一焦点为 ，则 (-1,0)连 A ,PFF542)(2 FAaPaPAP当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 （2）3 作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e= ，21xy0ABCMD5 PHFPF2,1即 A当 A、
6、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142Axca例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、M、C 共线，B、D、 M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的 ） 。解：如图， ，D 26MBABAC即 （*）8点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2=15 轨迹方程为 1562y点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当
7、于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！4)1()1( 22yxyx例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。53分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解：sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= 2RsinA53 BCA即 （*）6点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）1692yx点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）x
8、y0MAB12例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x 2，X 22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点 M(x0，y 0)则 021219()(yx由得(x 1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x 1+x2)
9、2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 ，20204194xy19)(202020 xxy ,51940y当 4x02+1=3 即 时， 此时20x45)(min0)45,2(法二：如图， 322 ABFBAM ， 即 ，32341 ， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451xyF120ABCDM 到 x 轴的最短距离为 45点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1，x 2，从而形成 y0 关于 x0 的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛
10、物线的定义，巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。 例 6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于)52(12myxA、B 、 C、D、设 f(m)= ,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。CDAB分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统” ，A 在准
11、线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防)()(2)(2)() CDABCDAB Xxxxxmf )()(AC )(2BXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆 中，a 2=m，b 2=m-1，c 2=1，左焦点 F1(-1,0)12myx则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )5(m122)()(2 )(121 mx
12、xxCDABmfACDAB（2） )()(f当 m=5 时， 9210)(minf当 m=2 时， 34)(maxf点评：此题因最终需求 ，而 BC 斜率已知为 1，故可也用 “点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、CCB坐标代入作差，得 ，将 y0=x0+1，k=1 代入得 ， ，可见10kmyx 010mx12mx2xCB当然，解本题的关键在于对 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现 是解CDABf)( CBxf)(此题的要点。3、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论
13、证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y” ，令 2x+y=b，则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“x 2+y2”,令 ，则 d 表示yx2点 P（x，y）到原点的距离；又如“ ”，令 =k，则 k 表示点 P（x、y）与点 A（-2，3）这两点连线的斜23xy率4、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点” ） ，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x 轴上一动点 P，常设 P（t，0） ；直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P（x 1,y1）外，也可直接设 P（
14、2y,-1,y 1）（2）斜率为参数当直线过某一定点 P(x0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(x-x0)，即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。5、代入法这里所讲的“代入法” ，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件 P1,P2求（或求证）目标Q”，方法 1 是将条件 P1代入条件 P2，方法 2 可将条件 P2代入条件 P1，方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设，代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。例
15、 3：已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上一动点，求 的最值。xy解：设 O（0，0） ，则 表示直线 OP 的斜率，由图可知，当直线 OP 与圆相切时， 取得最值，设最值为 k，则y xy切线：y=kx,即 kx-y=0圆(x-3) 2+(y-2)2=1,由圆心（3，2）到直线 kx-y=0 的距离为 1 得 ,1|23|k 4k 43,3maxminyxy例 4：直线 l：ax+y+2=0 平分双曲线 的斜率为 1 的弦，求 a 的取值范围.9162yx分析：由题意，直线 l 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点 M 与点P 的连线的斜率即-a 的范围。解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且 AB 的斜率为 1，AB 的中点为 M(x0,y0)则： 1962yx-得 0196,02121 yxy即即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 C ,D7,17,1962
