(教案)第一讲平面、空间两条直线

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1、高二辅导讲义第一讲 第 1 页 共 8 页第一讲 平面、空间两条直线知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.1）公理 1：如果一条直线上两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这条直线上。公理 1 的作用：它是用直线鉴别平面的方法。它是证明直线在平面内的重要依据。2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。公理 2 的作用：它是辨别两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过交点。它是判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。3）公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1：经过一

2、条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线有切只有一个平面。公理 3 及推论的作用：它是在空间中确定平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化成平面几何问题提供了理论依据和具体方法。2.公理 4 及等角定理.公理 4：平行于同一直线的两直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点。点击双基1.若 a，b 是异面直线，则只需具备的条件是A.

3、a 平面 ，b 平面 ， a 与 b 不平行B.a 平面 ，b 平面 ， =l，a 与 b 无公共点C.a直线 c， bc= A，b 与 a 不相交D.a平面 ，b 是 的一条斜线答案：C2.如 下 图 ， 直 线 a、 b 相 交 于 点 O 且 a、 b 成 60角 ， 过 点 O 与 a、 b 都 成 60角 的 直 线 有O60ab A BCDESAA D B CB CD111 1高二辅导讲义第一讲 第 2 页 共 8 页A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析：在 a、b 所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（2004 年北京朝阳区模拟题）如图，正四面体 SAB

4、C 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是A. B. C. D.3326362解析：取 AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA， BDE 就是 BD 与 SA 所成的角.设SA=a，则 BD=BE= a，DE= a，cos BDE = = .21DEB223答案：C4.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a， 那么（1）哪些棱所在直线与直线 BA1 成异面直线？_.（2）直线 BA1 与 CC1 所成角的大小为 _.（3）直线 BA1 与 B1C 所成角的大小为_.（4）异面直线 BC 与 AA1 的距离为_.（5）异面直线 BA1 与 CC1

5、的距离是 _.答案：（1）D 1C1、D 1D、C 1C、C 1B1、DC、AD （2）45 （3）60 （4）a （5）a5.（2002 年全国）正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1，侧棱长为 ，则这个棱2柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是_.解析：连结 FE1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得 FE1BC 1，在EFD 中，EF =ED=1， FED=120，FD= = .o120cs22EF3在 EFE1 和 EE1D 中 ， 易 得 E1F=E1D= = ， E1FD 是 等 边 三 角 形 ，1)(2FE 1D=60.而FE 1D 即为 E1D

6、 与 BC1 所成的角.答案：60说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.典例剖析【例 1】 如下图，四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、 AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFC=2 3，DHHA =23.求证：EF、GH、BD 交于一点.高二辅导讲义第一讲 第 3 页 共 8 页AB C DE FG H O证明：连结 GE、HF，E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=2 3，HFAC.GEHF .故 G、E、F 、 H 四点共面.又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 O.则 O面 AB

7、D，O面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BD.EF、GH、BD 交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例 2】 A 是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，CAB DE FG（1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以 A、B 、 C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 E

8、F与 BD 是异面直线.（2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.在 RtEGF 中，求得FEG=45，即异面直线 EF 与 BD所成的角为 45.特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”.注意，异面直线所成角的范围是（0， .2【例 3】 长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 AB=a，BC=b，AA 1=c，且 ab，求：（1）下列异

9、面直线之间的距离：AB 与 CC1；AB 与 A1C1；AB 与 B1C.（2）异面直线 D1B 与 AC 所成角的余弦值.高二辅导讲义第一讲 第 4 页 共 8 页（1）解：BC 为异面直线 AB 与 CC1 的公垂线段，故 AB 与 CC1 的距离为 b.AA1 为异面直线 AB 与 A1C1 的公垂线段，故 AB 与 A1C1 的距离为 c.过 B 作 BEB 1C，垂足为E，则 BE 为异面直线 AB 与 B1C 的公垂线，BE= = ，即 AB 与 B1C 的距离为B12b.2cbA A B B C C D D 11 11 EF O A A B B C C D GD 11 11（2）

10、解法一：连结 BD 交 AC 于点 O，取 DD1 的中点 F，连结 OF、AF，则OFD 1B，AOF 就是异面直线 D1B 与 AC 所成的角.AO= ，OF= BD1= ，AF= ，2ba2cba24cb在AOF 中，cos AOF= = .OFA)(222ca解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结 BG、D 1G，则ACBG ，D 1BG（或其补角）为 D1B 与 AC 所成的角 .BD1= ，BG= ，D 1G= ，22cba2ba24ca在D 1BG 中，cosD 1BG= = ，故所求的余B1 )(222cba弦值为 .)(222cba深化拓展利用中位线平移和

11、利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.闯关训练夯实基础1.两条相交直线 l、m 都在平面 内且都不在平面 内.命题甲：l 和 m 中至少有一条与 相交，命题乙：平面 与 相交，则甲是乙的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件解 析 ： 若 l 和 m 中 至 少 有 一 条 与 相 交 ， 不 妨 设 l =A， 则 由 于 l ， A .而高二辅导讲义第一讲 第 5 页 共 8 页A ， 与 相 交 .反 之 ， 若 =a， 如 果 l 和 m 都 不 与 相 交 ， 由 于 它 们 都 不 在 平 面 内 ，l 且 m .la 且 ma，进而

12、得到 lm，与已知 l、m 是相交直线矛盾.因此 l 和 m 中至少有一条与 相交.答案：C2.（2004 年天津，6）如下图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、 F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于AA D B CB CD111 1OEF A BCD EFGA. B. C. D.510515432解法一：取面 CC1D1D 的中心为 H，连结 FH、D 1H.在FHD 1 中，FD1= ，FH= ，D 1H= .232由余弦定理，得D 1FH 的余弦值为 .5解法二：取 BC 的中点 G

13、.连结 GC1FD 1，再取 GC 的中点 H，连结 HE、OH ，则OEH 为异面直线所成的角.在OEH 中， OE= ，HE= ，OH = .234由余弦定理，可得 cosOEH= .51答案：B3.如图，四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若 CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与CD 所成的角等于_.解析：取 AD 的中点 G，连结 EG、FG ，易知 EG=1，FG= .21由 EFAB 及 GFAB 知 EFFG.在 Rt EFG 中，求得GEF=30，即为 EF 与 CD 所成的角.答案：304.（2003 年上海）在正四棱锥 PABCD 中，若侧面与底面

14、所成二面角的大小为 60，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的ABC 与A 1B1C1 不在同一平面内，且AB A1B1，BCB 1C1，CAC 1A1.高二辅导讲义第一讲 第 6 页 共 8 页SAABBCC1 11求证：AA 1、BB 1、CC 1 三线共点.证明：不妨设 ABA 1B1，AA 1BB 1=S，BCB 1C1，BB 1 面 BCC1B1，S面 BBC1B1.同理，S面 ACC1A1.SCC 1，即 AA1、BB 1、CC 1 三线共点于 S.6.在三棱锥 ABCD 中，AD=BC=2a，E、F

15、分别是 AB、CD 的中点，EF= a，求 AD 与 BC 所3成的角.BCDAE F M解：取 AC 的中点 M，连结 ME、MF ，则 MEBC，MFAD ，所以EMF（或其补角）是直线 AD 与 BC 所成的角.在EMF 中，ME = BC=a，MF= AD=a，EF= a，cosEMF =21213= ，EMF=120，因此异面直线 AD 与 BC 所成的角为 60.23a1培养能力7.如下图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC ，PB=PC ，E、 F 分别是 PC 和 AB 上的点且PE EC=AF FB=32.CEPBFA（1）求证：PABC；（2）设 EF 与 PA、BC 所成的角分别为 、 ，求证： + =90.证明：（1）取 BC 的中点 D，连结 AD、PD .A DB CPGFE则 BC平面 ADP，AP 平面 ADP，