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1、第八章统计与概率第二节概率考 点 帮易错自纠易错点1因列举出的结果不是等可能的而致错1.随机抛掷一枚质地均匀的硬币2次,朝上的面出现的结果为“一正一反”的概率为12.易错点2忽略“放回”或“不放回”的条件2.不透明的袋子中装有三个小球,上面分别写着数字“1”“2”“3”,除所标数字外三个小球无其他差别.(1)从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,则两次记录的数字之和为5的概率为29.(2)从中随机摸出一个小球,记录其数字后不放回,再从剩下的小球中随机摸出一个小球,记录其数字,则两次记录的数字之和为5的概率为13.方 法 帮提分特训2020山东青岛小颖
2、和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出,但只有一张入场券,于是他们设计了一个“配紫色”游戏:如图,A,B是两个可以自由转动的转盘,每个转盘都被分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么可以配成紫色.若配成紫色,则小颖去观看,否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.解:公平.理由:根据题意,画树状图如下.由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中可以配成紫色的结果有3种,不能配成紫色的结果有3种,故小颖和小亮去观看的概率均为12,所以游戏对双方公平.真 题 帮考法1事件的分类(10年1考)考法2列举法求概率(10年9考)考法1事件的分类
3、 1.2011安徽,5从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列推断正确的是( B )A.事件M是不可能事件B.事件M是必然事件C.事件M发生的概率为15D.事件M发生的概率为25考法2列举法求概率2.2013安徽,8如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯同时发光的概率为( B )A.16B.13C.12D.233.2012安徽,8给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打给甲的概率为( B )A.16B.13C.12D.234.2020安徽,21(3)某单位食堂为全体960名职工提供了A,B,C,D四种套餐,现
4、从甲、乙、丙、丁4名职工中任选2名担任“食品安全监督员”,求甲被选到的概率.解:由题意,从甲、乙、丙、丁4人中任选2人,总共有6种不同的结果,且每种结果发生的可能性相同,列举如下:(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁).其中甲被选到的结果有(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁),共3种.故所求概率P=36=12.5.2019安徽,21(2)一组优等品的尺寸x(单位:cm)如下:8.968.978.989.029.039.04其中尺寸在8.97x9.03的为特等品.将这6件优等品分成两组,其中一组的尺寸不大于9 cm,另一组的尺寸大于9 cm.从这两组中各随机抽取1件
5、,求抽到的2件产品都是特等品的概率.(注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内)解:将尺寸不大于9 cm的3件优等品分别记为A1,A2,A3,尺寸大于9 cm的3件优等品分别记为B1,B2,B3,其中特等品为A2,A3,B1,B2.根据题意列表如下:B1B2B3A1(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)A2(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)A3(A3,B1)(A3,B2)(A3,B3)由上表可知共有9种等可能的结果,其中2件产品都是特等品的结果有4种,所以抽取到的2件产品都是特等品的概率为49.6.2017安徽,21(3)比赛时甲、乙、丙三人依次出场,顺序由抽签方式决定.求甲、乙相
6、邻出场的概率.解:三人的出场顺序有(甲、乙、丙),(甲、丙、乙),(乙、甲、丙),(乙、丙、甲),(丙、甲、乙),(丙、乙、甲),共6种,且每一种结果出现的可能性相等,其中甲、乙相邻出场的结果有(甲、乙、丙),(乙、甲、丙),(丙、甲、乙),(丙、乙、甲),共4种,所以甲、乙相邻出场的概率P=46=23.7.2016安徽,21一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数字;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数字.(1)写出按上述规定得到的所有可能的两位数;
7、(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.解:(1)按规定得到的所有可能的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88.(2)这些两位数共有16个,其中算术平方根大于4且小于7的共有6个,分别为17,18,41,44,47,48,所以所求概率P=616=38.8.2015安徽,19A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人.(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;(2)求三次传球后,球恰在A手中的概
8、率.解:(1)根据题意,画树状图如图(1)所示.图(1)由图(1)可知,两次传球后的所有结果有4种,每种结果发生的可能性相等,其中,两次传球后,球恰在B手中的结果只有一种,故两次传球后,球恰在B手中的概率是14.(2)画树状图如图(2)所示:图(2)由图(2)可知,三次传球后的所有结果有8种,每种结果发生的可能性相等.其中,三次传球后,球恰在A手中的结果有2种,故三次传球后,球恰在A手中的概率是28=14.9.2014安徽,21如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两
9、个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结.求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.解:(1)小明可选择的情况有三种,每种情况发生的可能性相等,恰好选中绳子AA1的情况为一种,所以小明恰好选中绳子AA1的概率P=13.(2)依题意,分别在两端随机任选两个绳头打结,总共有9种情况,每种情况发生的可能性相等.画树状图如下:其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连接成为一根长绳.所以能连接成为一根长绳的情况有6种:左端连AB,右端连A1C1或B1C1;左端连BC,右端连A1B1或A1C1;左端连AC,右端连A1B1或B1C1.故这三根绳子能连接成一根长绳的概率P=69
10、=23.作 业 帮基础分点练(建议用时:45分钟) 考点1事件的分类 1.2020湖北武汉两个不透明的口袋中各有三个相同的小球,将每个口袋中的小球分别标号为1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球,则下列事件为随机事件的是( B )A.两个小球的标号之和等于1B.两个小球的标号之和等于6C.两个小球的标号之和大于1D.两个小球的标号之和大于62.2020江苏泰州如图,电路图上有4个开关A,B,C,D和1个小灯泡,同时闭合开关A,B或同时闭合开关C,D都可以使小灯泡发光.下列操作中,“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( B )A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关C.只闭合3个开关D.闭合4个
11、开关 考点2简单事件的概率3.2020黑龙江齐齐哈尔有一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,掷小正方体后,朝上一面的数字出现偶数的概率是( A )A.12B.13C.14D.234.2020黑龙江哈尔滨一个不透明的袋子中装有9个小球,其中6个红球、3个绿球,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率是( A )A.23B.12C.13D.195.2020江苏徐州在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现,每次随机摸出一个球,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的个数最有可能是(
12、 A )A.5B.10C.12D.156.2020山西如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是( B )A.13B.14C.16D.187.2020湖北襄阳易经 是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图, 图中每一卦由三根线组成(线形为或),如正北方向的卦为.从图中三根线组成的卦中任取一卦,这一卦中恰有2根和1根的概率为38. 考点3列举法求概率8.2020宁夏现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选3条,能组成三角形的概率是( B )A.14B.12C.35D.349.2020湖
13、北武汉某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛,恰好选中甲、乙两位选手的概率是( C )A.13B.14C.16D.1810.2020黑龙江牡丹江在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标上数字1,2,3,4.若随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球上所标数字之和等于5的概率为( C )A.14B.23C.13D.31611.2019山东东营从1,2,3,4中任取两个不同的数,分别记为a和b,则a2+b219的概率是( D )A.12B.512C.712D.1312.2019湖北武汉从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,
14、c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为( C )A.14B.13C.12D.2313.2020河南如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是14.14.2020重庆A卷现有四张正面分别标有数字-1,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数字,前后两次抽取的数字分别记为m,n,则点P(m,n)在第二象限的概率为316.15.2020陕西小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内, 放入2个红球、1个白球和1个黄球,共4个小球,这些小球除颜色外其他都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.解:(1)这10次中摸出红球的频率为610=35.(2)列表如下:红1红2白黄红1(红1,红1)(红1,红2)(红1,白)(红1,黄)红2(红2,红1)(红2,红2)(红2,白)(红
