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1、19第二章 投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握 正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。202.1 投影的基本知识一、 投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影
2、子”称为投影。2、产生投影的光源称为投影中心 S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。形成投影线的方法称为投影法（图 2-1） 。(a) (b)图 2-1 中心投影法 图 2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图 2-2 所示。平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正
3、投影（b）两种。(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图 2-2(a)所示。(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图 2-2(b)所示。用正投影法得到的投影叫正投影。三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图 2-3。透视图与人的视觉21习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。图 2-3 透视图 图 2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。如图 2-4 所示，形体上互相平行且长度相等
4、的线段，在轴测图上仍互相平行、长度相等。轴测图虽不符合近大远小的视觉习惯，但仍具有很强的直观性，所以在工程上得到广泛应用。3、标高投影图用正投影法将局部地面的等高线投射在水平的投影面上，并标注出各等高线的高程，从而表达该局部的地形。这种用标高来表示地面形状的正投影图，称为标高投影图，如图 2-5 所示。图 2-5 标高投影图 图 2-6 正投影图4.正投影图根据正投影法所得到的图形称为正投影图。如图 2-6 所示为房屋（模型）的正投影图。正投影图直观性不强，但能正确反映物体的形状和大小，并且作图方便，度量性好，所以工程上应用最广。绘制房屋建筑图主要用正投影，今后不作特别说明， “投影”即指“正
5、投影” 。222.2 点的投影一、内容：1、点在三投影面体系中第一分角的投影；2、两点的相对位置。二、要求及重点：1、要求了解三投影面体系；2、掌握投影的特性；3、根据点的坐标，判定点的类型。4、掌握点的相对位置关系；5、了解重影点概念，判断重影点的可见性。三、教学方式：1、利用教具、模型使学生在头脑中形成空间印象，做到平面投影与实际空间中的对应关系；2、利用例题使学生掌握并知道如何利用这些原理、概念；3、通过课上实际绘制，使学生更加深理解绘图过程及技巧。四、作业：布置点投影的作业。232.2 点的投影一、 投影的形成与特性 1、三个互相垂直的投影面 V、H 、W，组成一个三投影面体系，将空间
6、划分为八个分角。V 面称为正立投影面，简称正面； H 面称为水平投影面，简称水平面； W 面称为侧立投影面，简称侧面。规定三个投影轴 OX 、OY、OZ 向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正相的投影面之间的空间第一分角。图 2-7 三投影面体系以及八个分角的划分第一分角内的空间点 A 分别向三个投影面 H、V、W 作水平投影（H 面投影） 、正面投影（V 面投影）、侧面投影（W 面投影） ，用相应的小写字母 a、小写字母加一撇 a、小写字母加两撇 a作为投影符号。（a） 轴测图 （b） 展开投影图 （c） 投影图图 2-8 点的三面投影2、点的投影（例如 A 点）具有下述投影特性：（1）点
7、的投影连线垂直于投影轴。（2）点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。（a） 轴测图 （b） 投影图24图 2-9 点的投影特性例 2-1 已知空间点 B 的坐标为 X=12，Y=10，Z=15 ，也可以写成 B（12、10、15） 。单位为mm（下同） 。求作 B 点的三投影。1、分析已知空间点的三点坐标，便可作出该点的两个投影，从而作出另一投影。 （a） （b） （c）图 2-10 由点的坐标作三面投影2、作图 画投影轴，在 OX 轴上由 O 点向左量取 12，定出 bX，过 bX 作 OX 轴的垂线，如图 2-10（a） 。在 OZ 轴上由 O 点向上量取
8、 15，定出 bZ，过 bZ 作 OZ 轴垂线，两条线交点即为 b，如图 2-10（b） 。在 bb X 的延长线上，从 bX 向下量取 10 得 b；在 bb Z 的延长线上，从 bZ 向右量取 10 得 b。或者由 b和 b 用图 2-10（c）所示的方法作出 b。点与投影面的相对位置有四类：空间点；投影面上的点；投影轴上的点；与原点 O 重合的点。二、两点的相对位置1、 两点的相对位置是指空间两个点的上下、左右、前后关系，在投影图中，是以它们的坐标差来确定的。2、两点的 V 面投影反映上下、左右关系；两点的 H 面投影反映左右、前后关系；两点的 W 面投影反映上下、前后关系。例 2-2
9、已知空间点 C（ 15，8，12） ，D 点在 C 点的右方 7，前方 5，下方 6。求作 D 点的三投影。分析D 点在 C 点的右方和下方，说明 D 点的 X、Z 坐标小于 C 点的 X、Z 坐标；D 点在 C 点的前方，说明 D 点的 Y 坐标大于 C 点的 Y 坐标。可根据两点的坐标差作出 D 点的三投影。作图：如图 2-11。25（a） （b） （c） （d）图 2-11 求作 D 点的三投影3、重影点：若两个点处于垂直于某一投影面的同一投影线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合，这两个点就称为对这个投影面的重影点。图 2-12 重影点的投影262.3 直线的投影一、内容：1、直
10、线的类型；2、直线的投影特性；3、求一般位置直线的实长与倾角；4、直线上点的投影；5、两直线的相对位置；6、一边平行与投影面的直角的投影。二、要求及重点：掌握上述几部分内容的基本概念、原理，并应用。三、教学方式：1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；3、通过绘制，使学生对点的投影有更加深刻的理解。四、作业：布置相关直线投影的作业，巩固知识，灵活运用。272.3 直线的投影空间直线与投影面的相对位置有三种：投影面平行线 特殊位置直线投影面垂直线一般位置直线一、特殊位置直线及其投影特性1、投影面平行线只平行于一个
11、投影面，而对另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。投影面平行线又有三种位置：水平线：平行于水平面正平线：平行于正平面侧平线；平行于侧面投影面平行线的投影特性见表 2-1。直线对投影面所夹的角即直线对投影面的倾角，、 分别表示直线对 H 面、V 面和 W 面的倾角。表 2-1 投影面平行线的投影特性名称轴 测 图 投 影 图 投影特性正平线1、 / b/ 反映真长和、 角。2、b / OX， / b/ / OZ，且长度缩短。水平线1、c d 反映真长和、 角。2、c /d/ / OX，c /d/ OYW，且长度缩短。28侧平线1、e / /f / /反映真长和、 角。2、ef / OYH，e
12、 / f / / OZ，且长度缩短。2、投影面垂直线垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。投影面垂直线也有三种位置：铅垂线：垂直于水平面的直线正垂线：垂直于正面的直线侧垂线：垂直于侧面的直线投影面垂直线的投影特性见表 2-2。表 2-2 投影面垂直线的投影特性名称轴 测 图 投 影 图 投影特性正垂线1、 / b/积聚成一点。2、b / OYH， / b/ / OYW，且反映真长。铅垂线1、c d 积聚成一点。2、c /d/ / OZ，c /d/ OZ，且反映真长。侧垂线1、e / /f / /积聚成一点。2、ef / OX，e / f / / OX，且反映真长。29
13、二、一般位置直线及其真长与倾角1、一般位置直线既不平行也不垂直于任何一个投影面，即与三个投影面都处于倾斜位置的直线。2、一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。（a） （b）图 2-13 一般位置直线求作一般位置直线的真长和倾角，可用图 2-14 所示的直角三角形法。（a）作图原理 （b）求真长和 角 （c）求真长和 角图 2-14 用直角三角形法求直线的真长和倾角三、直线上的点的投影特性1、 直线上的点的投影，必在直线的同面投影上；2、 若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比，都等于点分割直线线段的长度比。例 2-3 如
14、图 2-15a 所示，已知直线 AB 求作 AB 上的 C 点，使 AC：CB =2：3。（a） 已知条件 （b）作图过程图 2-15 作分割 AB 成 2：3 的 C 点30解 根据直线上的点的投影特性，作图过程见图 2-15b 所示：自 a 任引一直线，以任意直线长度为单位长度，从 a 顺次量 5 个单位，得点 1、2、3、4、5。连 5 与 b，作 2c/5b，与 ab 交于 c。由 c 引投影连线，与 ab交得 c。c与 c 即为所求的 C 点的两面投影。 例 2-4 如图 2-16a 所示，试判断 K 点是否在侧平线 MN 上？解 可按直线上点的投影特性，用方法一或方法二进行判断。方法一的判断过程如图 2-16b 所示：加 W 面，即过 O 作投影轴 OYH、OY W、OZ。由 mn、mn 和 k、k 作出 mn和 k。由于 k不在 mn上，所以 K 点不在 MN 上。方法二的判断过程如图 2-16c 所示：过 m 任作一直线，在其上取 mk0 =mk、k 0 n0 =kn。分别将 k 和 k0、n 和 n0 连成直线。由于 k k0 n n 0，于是 m k：knmk ：kn，从而就可立即判断出 K 点不在 MN 上。（a） 已知条件 （b）方法一
