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1、立体几何高考题集训11. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证: PACB平 面 平 面 ；(II) 2 .BCPBA若 ， ， 1， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值【答案】（I）证明：由 AB 是圆 O 的直径，得 。BCA由 平面 ABC，且 平面 ，得 。PAP又 , 平面 , 平面 ,所以 。因为CPBCPA平 面，所以 。B平 面 平 面 平 面（II）(解法一)过 C 作 CMAP,则由 平面 ABC 知 平面 ABC。如图，以点 C 为坐AM标原点，分别一直线
2、 CB，CA，CM 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系。因为 ，xyz 2B，所以 。因为 ，所以 ，1A31P(0,)， 。(3,0)B(,1)P故 ， 。设平面 BCP 的法向量为 ，则 ，,C(0,) 1(,)xyzn10CBPAn所以。不妨令 ，则 。30xyz1y(,1)n， 。设平面 ABP 的法向量为(,)AP(3,0)B，则 ，所以 。不妨令 ，2,xyzn2APn30zxy1x则 。于是2(1,30)12cos,= 。由题中图形知二面角 的大小为锐角，即二面角 的3642CPBACPBA余弦值为 。 12 分22. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（
3、含答案） ）如图,四棱锥PABCD中 , ABCD底 面 , 2,43ACBACD,F为 的中点 , FP.(1)求 的长; (2)求二面角 F的正弦值.【答案】 33. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点为 .底面圆心为 ,其母线与底面所成的角为 22.5. 和 是底面圆 上的两poABCDO条平行的弦,轴 与平面 所成的角为 60.OPCD()证明:平面 与平面 的交线平行于底面; AB()求 .cs【答案】解: () P,/ /mPCDABP设 面 面 直 线 且 面 面. /AB直 线 ABCD面直 线面 /所以, . P的
4、公 共 交 线 平 行 底 面与 面面() . rPOOPFr 5.2tan.60, 由 题 知， 则的 中 点 为线 段设 底 面 半 径 为. t14,2cos5.2tan60t60tan, CDrPOF )23(),-(31-.t1cos2cos 2CD. 7cos.-17O所 以法二: 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体中, 平面 ,BCDABCD. 是 的中点, 是2,MAP的中点,点 在线段 上,且 .MQQ3(1)证明: 平面 ;(2)若二面角 的大小/PBDB为 ,求 的大小.06DC【答案】解:证明()方法一
5、:如图 6,取 的中点 ,且MF是 中点,所以 .因为 是 中点,所以 ;又因为()MA3FPB/PB且 ,所以 ,所以面 面 ,且 面3Q/QDQDCQ,所以 面 ; BDC/PBC方法二:如图 7 所示,取 中点 ,且 是 中点,所以 ;取 的三OPBM1/2POAB C DP Q M（第 20 题图）等分点 ,使 ,且 ,所以 ,所以H3DC3AQ1/42HADM,且 ,所以 面 ; /POQOHBPBC()如图 8 所示,由已知得到面 面 ,过 作 于 ,所以G,过 作 于 ,连接 ,所以 就是 的CGBMD二面角;由已知得到 ,设 ,所以 813D, cos,in2cos2cosin
6、,2sinDCGBCBCD 在 中, ,所以在RTBsiniG中, ,所以在 中 HG221sin33siHRTCHG2cosintantan6033CGCHGH; t(,9)6060BD55. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分 14 分.如图,在三棱锥 中, 平面 平面 , , ,过 作ABCSSCAABS,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.AFGE，求证:(1)平面 平面 ; (2) ./BABCSGFE【答案】证明:(1) , F 分别是 SB 的中点 ASSBFE.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF
7、平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EF FG=F, EF.FG 平面 ABC平面 平面 /EGAC(2)平面 平面 SABC平面 平面 =BC AF 平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB BC平面 SAB 又SA 平面BCA SABBCSA 66. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, ,90A6BCDEACB2DE为 的中点.将 沿 折起,得到如图 2 所示的
8、四棱锥 ,其中OE.3A() 证明: 平面 ; () 求二面角 的平面角的余弦值.C O BD EACDO BEA图 1 图 2【答案】() 在图 1 中,易得 3,2,OACD OxEA向量法图yzBCDO BEAH连结 ,在 中,由余弦定理可得 EC2cos45OOD由翻折不变性可知 , 2A所以 ,所以 , 2 理可证 , 又 ,所以 平面 . EAOBCDE() 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , OHCDH因为 平面 ,所以 , AB所以 为二面角 的平面角. A结合图 1 可知, 为 中点,故 ,从而 32230AO所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 . 15cosOH
9、A B15向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, Oxyz则 , , 030C12,D所以 , A3A设 为平面 的法向量,则 ,nxyz,即 ,解得 ,令 ,得 0CDA302zy3yxz1,3n由() 知, 为平面 的一个法向量, ,OCDB所以 ,即二面角 的平面角的余弦315cos,nAACDB值为 . 1577. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, AB AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1的中点. ()
10、 证明 B1C1 CE; () 求二面角 B1-CE-C1的正弦值. () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段 AM 的长. 26【答案】 88. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A 1,BA A 1=60.()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1AB, E, AB= 1A, 1B= 06, 1是正三角形, EAB, CA=CB, C
11、EAB, 1C=E,AB面 1CEA, AB 1AC; ()由()知 ECAB, 1EAAB, 又面 ABC面 B,面 ABC面 1B=AB,EC 面 1B,EC 1EA, EA,EC, 1两两相互垂直,以 E 为坐标原点, A的方向为 x轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),则 BC=(1,0, 3), 1B=1A=(-1,0, ), C=(0,- , ), 设 n=(,)xyz是平面 1B的法向量, 则 10,即 30xzy,可取 n=( 3,1,-1), cos,ACn= 1|5, 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105
