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1、1 空 间 角 专 题一、异面直线所成角的问题求异面直线所成的角，常用平移转化法（涉及中点问题，常利用三角形中位线平移线段构造异面直线所成的角） ，即“平移一条”(或两条)“作出夹角” ，再解三角形其步骤概括为“一作二证三算” 例 1 如右图，正方体 中， ，则1DCBA411BAFE与 所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 75217823例 2 在棱长为 a 的四面体 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AD 中点，求异面直线 DE 与 BF 所成角的余弦值二、线面角的求法求直线与平面所成角的一般过程是：通过射影转化法，作出直线与平面所成角，在三角形中求角的大小在求解斜线和平面所成
2、角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线的射影上利用已知垂直关系得线面垂直，确定射影利用面面垂直的性质得线面垂直，确定射影例: 在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 中点，连 CE，求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值三、二面角的求法1、角的概念及范围二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角具有以下三个特点：顶点在棱上；两边分别在两个面内；与棱都垂直二面角大小的范围为0，2、求二面角大小的步骤：(1)找(或作)出并证明二面角的平面角(本着先找后作的原则)；(2)指出某
3、角即为所求二面角的平面角并计算 （求角）3、对于未给棱的二面角求法，一般情况下，首先作棱，在有利条件下，利用射影公式 Scos（二）典型例题题型 1：定义法作二面角平面角利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，分别在二面角的两个半平面内作棱的垂线，则这两条射线所成的即是二面角的平面角。例 1：已知AOB=90 ，过 O 引AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA，OB 分别成 45 ，60 角，则以 OC 为棱的二面角0 0A-OC-B 的余弦值是多少？ 题型 2：三垂线法作二面角平面角2 作二面角的平面角，最常用的方法是三垂线定理，关键： 是找（或作） “面的垂线” ，用三垂线法找二面角平面角
4、的具体步骤如下：（1）看清两个面。 （2）找（作）其中一个面的垂线。 （3）过垂线段的一个端点向棱作垂线。（4）连接垂足和垂线段的另一个端点，即得到二面角的平面角找（作）面的垂线的方法：过二面角中一个平面内的一点，向两个垂面的交线引垂线，由面面垂直的性质定理知线面垂直。例 1：如图：SA 平面 ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形，SA=3.求二面角 S-BC-A 的大小。SCAB例 2：如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE；（）求二面角 BACE 的正弦值； 题型 3
5、：棱的垂面法作二面角的平面角例 1 如右图，在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC 且分别交 AC、SC 于 D、E，又SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数例 2 如下图，在直角梯形 ABCD 中，D=BAD=90，AD=CD= ABa ，现将ADC 沿 AC 折起，使 D 至 的21位置若二面角 BAC 是直二面角，试求二面角 ABC 的大小3 题型 4：面积射影问题可以利用射影面积公式求二面的余弦值，即 SDCABcos例： (2001 年全国高考题)一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；
6、四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则( )A.P3P2P1 B.P3P2=P1 CP 3=P2P1 DP 3=P2=P1空间角专题练习1、 （08 师大附中）如图，在直角梯形 P1DCB 中，P 1DCB，CDP 1D，P 1D6，BC3，DC ，A 是 P1D 的中点，6E 是线段 AB 的中点，沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置，使二面角 PCDB 成 45角（）求证：PA平面 ABCD；（）求平面 PEC 和平面 PAD 所成的锐二面角的大小2、如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形
7、，AD 是公共的斜边，且AD ，BDCD1，另一个侧面是正三角形3（1）求证：ADBC （2）求二面角 BACD 的余弦值. AB CD3、已知四棱锥 的三视图及直观图如下图，其中俯视图为正方形，点PABCDB CDPA EA DCBP1EA DCBEP4 为棱 的中点，在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长度；EADPCFEPBCEF若不存在，说明理由；4、如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且 ，VABCABC 底 面 DABCBa （I）求证：平面 平面 ；02DC V（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 65、如图，ABCD 是菱形，PA 平面
8、 ABCD， PA=AD=2，BAD=60.（）求证：平面 PBD 平面 PAC；（）求点 A 到平面 PBD 的距离；（）求二面角 APBD 的余弦值.空 间 角 专 题 （答案）22正视图22侧视图22俯视图A 5 一、异面直线所成角的问题求异面直线所成的角，常用平移转化法（涉及中点问题，常利用三角形中位线平移线段构造异面直线所成的角） ，即“平移一条”(或两条)“作出夹角” ，再解三角形其步骤概括为“一作二证三算” 例 1 如右图，正方体 中， ，则1DCBA411BAFE与 所成角的余弦值是( A )A. B. C. D. 75217823解析： 为 BE1与 DF1所成角设正方体棱长
9、为 4，则 BE1=DF1=HE1= ，BH=2在BE 1H 中，由余弦定理求得 175cosHBE例 2 在棱长为 a 的四面体 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AD 中点，求异面直线 DE 与 BF 所成角的余弦值解 如右图，连 AE，取 AE 中点 G，则BFG 为 BF 与 DE 所成的角由已知可求得 BF=DE= a23 ，又 ，在BFG 中，由余弦定理求aGF43EB47162得： 故异面直线 DE 与 BF 所成角的余弦值为3423167cos22aB 32二、线面角的求法求直线与平面所成角的一般过程是：通过射影转化法，作出直线与平面所成角，在三角形中求角的大小在求解斜线和平
10、面所成角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线的射影上利用已知垂直关系得线面垂直，确定射影利用面面垂直的性质得线面垂直，确定射影例: 在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 中点，连 CE，求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值解 如右图，过 A、B 分别作 AO面 BCD，EG面 BCD，O、G 为垂足AO 2GE, AO、GE 确定平面 AOD，连结 GC，则ECG 为 EC 和面 BCD 所成的角AB=AC=AD，OB=OC=ODBCD 是正三角形O 为BCD 的中心，连 OD
11、 并延长交 BC 于 F，F 为 BC 的中点令正四面体棱长为 1，可求得 CE= ，DF= ，OD= ，AO= 233362DAEG= ，在 RtECG 中，sinECG=6CE三、二面角的求法：（一）知识点讲解：1、角的概念及范围二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角具有以下三个特点：顶点在棱上；两边分别在两个面内；与棱都垂直二面角大小的范围为0，2、求二面角大小的步骤：(1)找(或作)出并证明二面角的平面角(本着先找后作的原则)；(2)指出某角即为所求二面角的平面角并计算 （求角）6 3、对于未给棱的二面角求法，一般情况下，首先作棱，在有利条件下，利用射影公式 Scos（二
12、）典型例题题型 1：定义法作二面角平面角利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，分别在二面角的两个半平面内作棱的垂线，则这两条射线所成的即是二面角的平面角。例 1：已知AOB=90 ，过 O 引AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA，OB 分别成 45 ，60 角，则以 OC 为棱的二面角0 0A-OC-B 的余弦值是多少？cos = -3题型 2：三垂线法作二面角平面角作二面角的平面角，最常用的方法是三垂线定理，关键： 是找（或作） “面的垂线” ，用三垂线法找二面角平面角的具体步骤如下：（1）看清两个面。 （2）找（作）其中一个面的垂线。 （3）过垂线段的一个端点向棱作垂线。（4）连接垂足
13、和垂线段的另一个端点，即得到二面角的平面角找（作）面的垂线的方法：过二面角中一个平面内的一点，向两个垂面的交线引垂线，由面面垂直的性质定理知线面垂直。例 1：如图：SA 平面 ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形，SA=3.求二面角 S-BC-A 的大小。60 0S CAB例 2：如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE；（）求二面角 BACE 的正弦值； 解：（） 平面 ACE. BF.AF二面角 DABE 为直二面角，且 ， 平面 ABE.C4 分.AC平 面（）连结
14、BD 交 AC 于 G，连结 FG，正方形 ABCD 边长为 2，BGAC，BG= ， 平面 ACE，2F由三垂线定理的逆定理得 FGAC. 是二面角 BACE 的平面角. .6 分F由（）AE平面 BCE， 又 ，在等腰直角三角形 AEB 中，BE= .BA2又 直角 ，,6,2C中 362ECB.3sin,GFBF中直 角7 题型 3：棱的垂面法作二面角的平面角例 1 (年高考题)如右图，在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC 且分别交 AC、SC 于D、E，又 SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数析：由已知
15、的线面垂直关系及线线垂直关系，容易发现 BD 上平面 SACEDC 就是所求二面角的平面角解 由于 SB=BC，且 E 是 SC 的中点，因此 BE 是等腰SBC 的底边 SC 的中线所以 SCBE，又已知SCDEBEDE=ESC面 BDE，SCBD又SA底面 ABCBD 在底面 ABC 上，SABD 而 SCSA=S，BD面 SAC，BDDE，BDDC，EDC 是二面角 EBDC 的平面角设 SA=a，则 AB=a，BC=SB= ，又 ABBC，所以 AC=在 RtSAC 中，tanACS= = ，ACS=30，EDC=60。AS3例 2 如下图，在直角梯形 ABCD 中，D=BAD=90，AD=CD= ABa，现将
