2021年整理密度矩阵相关计算

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1、高等量子力学(第二章,第二章 量子力学的理论构架 2-1表象理论 2-2二次量子化 2-3密度矩阵 2-4路径积分与格林函数,2-3密度矩阵(算符） 1、纯态与混合态 迄今为止，研究的对象基本上是一个粒子，它的状态总是用希尔伯特空间的一个态矢量来表示，这些态矢量满足叠加原理，把这些状态称之为纯态。例如,1,其中， 为纯态， 也是纯态。总之，凡是能用希尔伯特空间的一个矢量描述的状态都是纯态。在一个纯态 之上，力学量 F 的取值是以概率的形式表现的，这就意味着，对单个粒子的预言是与大量粒子构成的系综的统计平均相联系的，或者说，量子力学具有统计的性质。从统计规律性的角度看，由纯态所描述的统计系综称为

2、纯粹系综。例如，在 Stern-Gerlach 实验中，当原子束通过磁场后，每个原子的自旋都指向同一个方向，即束流的完全被极化的，此时，可以把体系理解为纯粹系综,以上纯态和本征态的定义是不一样的，本征态一定是纯态，但纯态一般不是本征态，而是多个本征态的线性组合,Stern-Gerlach实验证明电子有自旋角动量的实验,使电中性银原子在电炉内蒸发射出，通过狭缝S1、S2形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于射束方向），最后到达照相底片上。显像后的底片上出现了两条黑斑，表示银原子经过不均匀磁场区域时分成了两束。 当时测得银、铜、金和碱金属的原子磁矩分量的大小都等于一个玻尔磁子，它

3、们的原子束都只分裂为对称的两束,斯特恩革拉赫实验说明，原子磁矩取值和自旋磁矩取值无法同时确定。这句话是怎么得来的,实际上，有时候会遇到更为复杂的情况，假设许多原子刚从一个热炉子中蒸发出来，它们的自旋取向是无规律的，如何描述这种非极化的束流呢？为了使问题更具有普遍意义，上述问题可概括为，当体系以 的概率（或权重）处于状态 ，以 的概率处于状态 ，.以 的概率处于状态 时，称其中的每一个 为 参与态 。这样的状态是无法用希尔伯特空间的一个态矢量来描述的，而需要用一组态矢量及其相应的概率来描述，则称之为混合态，相应的统计系综为混合系综。 为了说明纯态和混合态的区别，让我们来考察力学量 F 在两种状态

4、上的取值概率。设算符 满足,2,在纯态（1）上，取 fi 值的概率为(投影获得系数，概率为系数平方,3,而在混合态上，根据混合态的定义可知，取 fi 值的概率为,4,显然，上面两式完全不同。 若再具体到坐标表象(坐标为自变量)，则（1）式为,5,在纯态（5）上，坐标 取 x0 值 的概率密度为,6,而在混合态上，坐标取 x0 值 的概率密度为,7,由上述两式可以看出，在纯态下，两个态之间发生干涉，而在混合态下，无干涉现象发生。前者为概率幅的叠加，称为相干叠加，叠加的结果形成一个新的状态，后者为概率的叠加，称为不相干叠加,2、密度算符的定义,为了能够统一地描述纯粹系综和混合系综，1927年 Ne

5、umann 给出密度算符的演算方法。 （1） 纯态下的密度算符的定义 首先，在纯态之下引入密度算符。 设 是希尔伯特空间中的任意一个归一化的态矢（纯态）， F 为一个可观测的物理量，对应的本征值和本征矢分别为fi 与 ，算符 在状态 上的平均值为,8,选任意一组正交归一完备基底 ，于是有,9,选任意一组正交归一完备基底 ，于是有,9,注意(9)式中含有西格玛，n的变化范围假设为1到N，表示完备基底是N维的。 假设正交归一完备基由N个独立的正交归一函数(矢量)组成,则 表示一个N行 N列的单位矩阵。 左侧表示列矢，右侧表示行矢量； 左侧表示行矢，右 侧表示列矢。波函数本身是一个叠加态矢量，可以被

6、任意一个完备的空间基底展开， 也可以被一个N维的空间基底展开。上式(9)表示原式左侧和右侧矢量分别被N维空 间的完备基矢量展开,选任意一组正交归一完备基底 ，于是有(注意：在一个1*n和一个n*1两个矢量 间插入一个单位n*n的矩阵，结果不变,9,说明,若引入纯态之下的密度算符(此算符为方阵，方阵对角元为构成纯态的任意子态出现的概率，对角元加和为1。若右侧左右两矢量交换位置，则显然也等于1，即为密度为1(而非密度算符)，相当于做西格玛和求阵迹。,10,则（9）式可以写为,11,上式说明算符 在一个归一化的纯态 上的平均值等于该算符与密度算符之积的阵迹。显然，密度算符是一个投影算符。 力学量 F

7、 在状态 上的取值 fi 概率,12,它是密度算符在算符 的第 i 个本征态上的平均值。 总之，利用状态 定义的密度算符可以给出任意力学量 F 在该状态上取值 概率与平均值，因此，纯态下的密度算符是可以代替态矢来描述纯态的一个算符,2） 混合态下的密度算符的定义 对于前面定义的混合态而言，一个物理量 F 的平均值要通过两次求平均来实现。首先，进行量子力学平均，即求出力学量 F 在每个参与态 上的平均值 ，然后，在对其进行统计平均，即求出以各自概率出现的量子力学平均的平均，称为加权平均，用公式表示为,13,类似纯态的做法，得到,14,若定义混合态下的密度算符(备注：矩阵乘以常数，则每个矩阵元都乘

8、以常数,15,则（14）式可以写成,16,力学量 F 的取值概率为,17,上述两式与纯态有同样的形式，只不过两种的密度算符的定义不同而己。 至此，我们找到了一个密度算符，它可以代替波函数来描述纯态与混合态，由于密度算符是在希尔伯特空间中定义的算符，它比混合态的原始定义要方便多了。类似于其它算符，密度算符在具体表象中的表示称为密度矩阵,3、密度算符的性质,设力学量算符 满足,18,当本征值无简并时，则 构成正交归一完备系，而当本征值简并时，本征 矢未必正交，但可以要求它是归一和完备的。 性质1 对于密度算符 ，有,对于纯态,对于混合态,证明,选取一组正交归一完备基 ，对于纯态 ，有 (下式是求阵

9、迹的常用方法：用正交归一完备基对应的左矢与右矢作用于 方阵两边求西格玛,19,而,20,于是,21,对混合态而言,22,而,23,其中,24,由于，只有当 时，上式中等号才成立，而此时体系处于 纯态，所以，对混合态而言，有,25,性质2 密度算符是厄米算符，若混合态是由一系列相互正交的态构成的，则 密度算符的本征矢就是参与混合的那些态 ，相应的本征值就是权重 ，即,26,证明,27,笔误：(27)中最后一个j应矫正为i,4、约化密度算符 在处理实际问题时，有时会遇到这样的情况，对于一个大的量子体系而言， 我们感兴趣的物理量只与体系的一部分有关。例如，在粒子1与粒子2构成的体系 中，只需要求出粒

10、子1的某力学量 F（1）的平均值。这时，问题可以进一步得到简化。 设粒子1和粒子2的基矢分别为 与 ，则两粒子体系的态矢的一 般形式为,28,为了保证 是归一化的态矢，要求展开系数满足,29,若 为纯态时，体系的密度算符为,30,如果求粒子1的某力学量F(1) 的平均值，由（11）式可知,31,第三个等号后插入了一个单位矩阵。第四个等号后利用了上式：两粒子态函数 可以重新排序。并矢,如果求粒子1的某力学量F(1) 的平均值，由（11）式可知,31,第三个等号后插入了关于第一个粒子的单位矩阵， 第四个等号成立 是因为常数项可以移动(不插入粒子1的单位阵不可以移动！因为算符F要作用于第 一个粒子)

11、。第五个等号后的n表示第二个粒子的函数序号,上页比较难理解，现将上页PPT修改为如下,令,32,其中， 表示只对粒子2取迹，取迹之后的 仍为粒子1空间中的算符，称 之为粒子1的约化密度算符。于是， F (1) 的平均值可写为,33,最后一个等号成立是因为去除了前边的关于第一个粒子的单位矩阵。此时后边的 m表示第一个粒子的波，所以可以直接去除这个单位矩阵。上式可修改如下,5、应用举例,例1 自旋为 的粒子，分别处于如下的纯态与混合态上,纯态为,混合态为,34,35,利用密度算符方法在此两种状态上分别计算 的平均值,解,对于纯态而言，在sz表象中，其矩阵形式为,36,相应的密度矩阵为,37,利用公

12、式（11）可以求出自旋个分量的平均值为,38,39,利用公式（12）可以计算自旋各分量算符的取各本征值的概率为,40,41,42,下式表明：由上述取值概率求出的平均值与由（11）式的计算结果完全一致,问题：为什么 = (1 1), = (1 -1)。答：这两个矢量是 矩阵的归一化本征矢量，其本征值分别为1和-1。此矩阵有且仅有2个归一化本征矢量,45,44,43,46,对于混合态而言，根据密度算符的定义,47,密度矩阵可写为(问题：如何得知自旋向上矢量为(1 0)和自旋向下矢量为(0 1)的呢？ 答：二者并矢组成一个单位矩阵，说明二者正交。同时发现二者归一。两个自旋矢量 符合正交归一,48,用

13、类似于纯态的计算手段，得到自旋各分量的平均值为,49,38,39,解析以下三个自旋算法和Pauli矩阵关系,验证以上三个矩阵满足反对易关系， 试求出以上三个矩阵的本征矢量表达式 验证以下关系式,例2 关于混合态中的参与态的正交化问题，以如下的混合态为例,50,找出与其等价的正交的混合态,解,首先，求出该混合态的密度矩阵,51,52,其次，求解密度矩阵满足的本征方程(结合矢量归一化条件求出a, b, p； 已验证，结果无误,它的本征解为(同时进行矢量归一化,53,此混合态亦为密度矩阵的本征态，由于它与给定的混合态对应同一个密度矩阵，故它与给定的混合态是相同的，区别在于后者的参与态已经正交化，相应

14、的权重也发生了变化(已经依据(51)式思路计算(53)式密度矩阵，发现果然等于(51)式结果。另外，容易验证新获得的两个矢量内积为0，即为正交,例3 关于约化密度矩阵问题的例题。设由粒子1（电子）与粒子2（质子）构成的双粒子体系，在其自旋空间中，非偶合表象下的二体基矢为,54,在如下纯态下,55,求电子自旋的平均值,解,密度算符为,56,依据(11)式，电子的约化密度算符为,57,式中,58,58,如何解析下边等式,回答：左右两边第二个粒子同时为“+”的都需要提取出来,59,于是，得到在粒子1（电子）空间中的约化密度矩阵(注意:“+”矢量为(1 0),“-”矢量为(0 1)，二者均为归一化矢量且相互正交。可得出下列密度,60,利用它计算电子自旋各分量的平均值,61,其中,62,63,于是有,同理可知,64,65,谢谢,孙慧斌 物理学院核技术研究所 Dec. 2009