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1、高等代数欧式空间读后感教师教育学院 12 数学 耿诚1，历史：约在 公元前 300 年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做n 维欧几里得空间（甚至简称n 维空间）或有限维实内积空间。欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的 2 维和 3 维空间的一般化。这个一般化把欧
2、几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。欧几里德空间是无穷大的。2，读
3、后感通过这一章的学习，我了解到了欧式空间中的内积，重要的不等式，标准正交基及其性质，子空间等概念和性质，下面我就以上所学中的几点作简单的介绍以及谈谈我的浅见。一：内积与欧氏空间1.设 V 是实数域 R 上的线性空间,在 V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为 ,)(它具有以下性质: )3(2),()1(这样的线性空间 V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设 V 是数域 P 上的线性空间,如果 V 中的任意两个向量 都按某一法则对应 P 内,唯一确定的数,记为 ,且)(f;),(),(),(,)1( 2121212 kfkkfk 有 ,llll有则称 是 V 上的一个双线性函数.),(f3
4、.内积是双线性函数.4.设 V 是 n 维欧氏空间, 为 V 的一组基, ,若ne,21 V,; nxex21 neyy21则 , jijniinjiji xay1),(),(5.称 为基 的度量矩阵.jiaAne,26. 设 是 n 维欧氏空间 V 的一组基,A 是基 下的度量矩阵,则e,21 ne,21任意 ,有 .V, AYX)(7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.标准正交基及性质1在欧氏空间 V 中，如果 ，那么称 正交或互相垂直。0),(与2正交向量组（正交向量组必定线性无关）3正交基、标准正交基4关于标准正交基，有下述重要结论：n 维欧氏空间中标准正交基总是存在
5、的，且不唯一；一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。n 维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵。在标准正交基下，任一向量的坐标都可以通过内积表示为：，它的逆命题也成立;n),(),(),(21设 是 n 维欧氏空间 V 的一组标准正交基, ,若e2 V,， ，则xx1 neyey21ny2),(3，最后，来一句大师名言：Ptolemy I, king of Egypt, asked Euclid if there was in geometry any shorter way than that of the Elements, and he answered that there was no royal road to geometry. 欧几里得
