拉丁超立方抽样

拉丁超立方抽样拉丁超立方抽样 从蒙特卡罗误差估计中，我们可以看到，大多数 统计量的估计值的敛散性都与 1 N 有关特别的，对 于均值的估计量，我们发现： 220.95 xx x Px NN = 而问题在于 1 N 是否能被改善值得注意的是蒙特卡 罗方法的一个主要优点就是他的敛散性依赖于独立的 随机参数个数，而接下来我们将要看到的是一种完全 不同的抽样方式：拉丁超立方抽样（LHS） 但首先， 我们要先了解一下分层抽样的相关内容 分层抽样 我们考虑一维的单个变量输入问题：( )yf x=，x 是一个随机变量分层抽样通过如下的步骤来进行： 1) 定义参与计算机运行的抽样数目 N； 2) 将 x 等概率地分成若干个区域“bin”, 01231 n Nn xxxxxxx + <<<<<

（） 1ii xx x 等式右边第一项同蒙特卡罗方法的标准误差一样，第 二项为附加项，它使方差变小所以，较之基于随机 抽样的蒙特卡罗方法，分层抽样降低了误差的方差 多维分层抽样 对于有多个随机变量的输入，分层抽样需要 将输入的样本空间等概率地化为N个区域,而这操作 起来是很困难的 （注意： 仅仅在每一维上等概划分是 不行的）考虑一个二维的情形： 2 bins 2 bins 假设 1 x， 2 x是均匀分布的（即二向同性的） ，则有： 2 24 binsN = = 对于一般 个 bins, 考虑一个d维输入问题，我们发 现有： b N () d b NN= 举个例子，对于 8 维输入且每维上有 2 个 bins, 8 2256 binsN == 或者，每维有3个bins， 8 36561 binsN == 显然，抽样数目随着每维bins的数目的增加而迅速增 加 拉丁超立方抽样 拉丁超立方抽样是另一种多维分层抽样方法，下 面我们介绍它的工作原理： 1) 定义参与计算机运行的抽样数目N； 2) 把每一次输入等概率地分成N列， 0123iniNiiii xxxxxx<<<<<

的 2 维问题 N = 4 个样本 相对于单纯的分层抽样，拉丁超立方抽样的最大优势 就在于任何大小的抽样数目都能容易地产生 至于估计均值，通常的做法是： 1 () 1 N n n f xy N = = 一般情况下，这种估计的标准误差不能认为是对标准 蒙特卡洛抽样方法的改进但实际上，拉丁超立方抽 样对均值和方差的估计和蒙特卡罗方法相比，在效果 上至少是一样的，且常常会显著改善 问题：因为拉丁超立方抽样标准误差的理论估计并不 是“贴紧”的， （例如：实际的均值远好于由误差估计 得到的值） ， 边界必然是很悲观的 尽管一般来讲误差 估计对于拉丁超立方抽样不是很理想，但有个特别的 例子表明拉丁超立方抽样较之蒙特卡罗方法有潜在的 改进 我们来看看这个例子： 假设y是关于输入变量的线性函数 1 d ii i ya = =x ，分别利 用蒙特卡罗抽样和拉丁超立方抽样方法，再对均值进 行估计，结果都是： 1 () 1 N n n f xy N = = 而标准误差分别是： MC： () 2 22 1 11 i d yix i Eya NN 2 y = == LHS： () 2 22 33 1 11 i d yix i Eya NN 2 y = == 2 1 N = 拉丁超立方抽样的标准误差 蒙特卡洛抽样的标准误差 我们可以看到，拉丁超立方抽样对样本数量的节省非 常显著。

因此，对于输出结果能用一个线性函数很好的逼 近的情况下，我们认为拉丁超立方抽样比蒙特卡洛抽 样更好。