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1、第四章 线性方程组的解24-1 高斯（GAUSS）消去法24.1.1 非对称方程组求解24.1.2 对称方程组求解24.1.3 对称方程组按上三角一维存放34.1.4 对称方程组按下三角一维存放34.1.5 列主元消去法44-2 消去法求逆矩阵44-3 稀疏线性方程组的形式与解算64.4 改进的平方根法求逆阵84.4 水准网平差144.4.1 观测数据的组织与输入与转换144.4.2 一维压缩存储法方程平差程序174.4.3 上三角存储法方程平差程序204.4.4 利用Matlab矩阵运算平差程序214.4.5 平差结果的相互转换程序221 / 25第四章 线性方程组的解4-1 高斯（GAUS
2、S）消去法高斯消去法在“算法语言”课程中有过详细介绍，本章将抄录一些消去法程序和求逆矩阵程序。4.1.1 非对称方程组求解 设有非对称方程Ax = b，其中A是 mm阶非奇异实矩阵，b是给定的m1向量。为了说明简便，下面以4阶方程组为例介绍消去法的具体做法。（设矩阵A的主元素不等于零）：表4-1-1 消去法解非对称线性方程a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44b1b2b3b4消去第一列a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 a32 a33 a34 0 a42 a43 a44b1b2b3b4
3、aij = aijai1 a1j / a11bi = bi ai1 b1 / a11i , j = 2,3,4消去第二列a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 a43 a44b1b2b3b4aij=aijai2a2j / a22bi=biai2 b2 / a22i , j = 3,4根据上表的消去过程，归纳如下：1. 消去第k个未知数是从k+1行开始，使第k列所有元素为零。（k = 1,2, m1）2. 从第k+1列开始，各元素为aij(k) = aij(k1)aik(k1) akj(k1) / akk(k1)bi(k) = bi(k1)aik(k
4、1) bk(k1) / akk(k1)用赋值语句写为 aij = aijaik akj / akk(4-1-1) bi = biaik bk / akk(4-1-2)k = 1,2, m1，i = k+1, m，j = k+1, m4.1.2 对称方程组求解当矩阵A是对称正定时，可以按行逐个消去，也就是按测量平差中高斯约化法进行。其数学模型为（以赋值语句写出）： aij = aijaik akj / akk（4-1-3）其中i =1,2, m，j = i,i+1, m通过上述消去法将矩阵A变换成上三角阵（即主对角线以下的元素均为零），常数项（右端项）b也同样进行约化，采用“回代”可求得各未知参
5、数。常数项约化的数学模型 biA(DII + J)例如第2行第3列，即DI = m + 1, I=2, J=3, 即，A(m+12+3) = A(m+2), 与上表相符合。为方便起见，令 II = DII = (I1)*(MI/2)(4-1-6)则二维数组与一维存放的对照公式为A (I, J) = A (II+J)，其中II代表第i行。按（4-1-6）式计算，J为第j列。4.1.4 对称方程组按下三角一维存放下三角一维存贮的编号如下表所示1 2 3 m 列 123m行a1 a2 a3 a4 a5 a6 am(m+1) / 2从表中可以看出，主对角元号DI = I * (I+1) / 2, 因此
6、 II DII = (IL) * I / 2（4-1-7）则二维数组与下三角一维存放的对照公式为A (I, J) = A (II+J)。必须指出，下三角存贮与上三角存贮其行列恰好相反，因此在应用（4-1-3）式约化时，应将aki akj) /akk改写为aik ajk) /akk。4.1.5 列主元消去法为了避免主元素等于零而使消去过程失败，也有时由于主元素的有效数字严重损失，而使舍入误差的相对误差增大，舍入误差扩散使得最终答解及不准确。为克服这些困难，选主元消去法是有效的。选主元消去法有：列主元消去法、行主元消去法、全选主元消去法。列主元消去发是从第k列（k = 1,2, , m）的各元素寻
7、出最大元作为主元，其具体做法如下：1. 从第1列开始，寻找本列绝对值最大的元素，记下该元素所在的行数（i0），并把该行（i0）与第1行（k行）的所有元素互换（即把第i0行移至第k行，使主元素是本列中最大元）。2. 按非对称方程组求解方法进行，亦即按（2-1）式进行消去aij = aijaikakj /akk，k = 1,2, ,m1，i , j = k+1, , m4-2 消去法求逆矩阵方程：Ax = b，其中A是mm阶非奇异矩阵。若按（4-1-1）和（4-1-2）式进行消元，则可得出下面等价方程a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a34 0 0 0 a44
8、b1b2b3b4如果每次消元均从第一行开始，则（4-1-1）式可以写为aij = aijaikakj /akk，k = 1,2, ,m1，i = 1,2, m (ik)，j = k+1, m这样消元结果为a11 0 0 00 a22 0 00 0 a33 00 0 0 a44b1b2b3b41 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 x1x2x3x4可见，按照此方法消元可以不回代，就可以求得未知数xi 。如果把右端项b改为I,则所求得未知数就是逆矩阵Q(Q = A-1)，或写为AQ = I =IQ = A-1即 A,I 经过初等变换后化为 I, A-1 。下面介绍另一种消去法求逆
9、设方程：b1 = a11 x1 + a12 x2 + + a1m xmb2 = a21 x1 + a22 x2 + + a2m xm (4-2-1)bm = am1 x1 + am2 x2 + + amm xm消去x1 式中： 并令： （4-2-2） 为了编写程序方便，将第1行移至最后一行，第1列移到最后一列，其它各元素的行列各上升一行一列。因此，（4-2-2）式可写为 （4-2-3）调换后，将仍存放在原单元，则为 （4-2-4）这样（4-2-4）式与（4-2-1）式形式完全相同，可以用（4-2-3）式相同方法消去，依此经m次消去后得 （4-2-5）可见消去后的系数，就是我们要求的逆矩阵A-1
10、，则，上述过程适用于非对称方程组。4-3 稀疏线性方程组的形式与解算在平差中，当测量控制网较大时，它的误差方程式和法方程式的系数大多是零元素。例如一个边长误差方程式就有个系数，其中只有4个非零元素，其余个都是零元素。其中是未知数的个数），所组成的系数矩阵是稀疏矩阵。在贮存和解算稀疏线性方程组时，应充分利用其稀疏性质，避免零元素的存储和零的运算，以降低存贮量和运算次数。求解此类问题，最常用的方法仍然是高斯消去法。这里重要的问题，就是怎样形成这个稀疏矩阵。图4-3-1 水准网稀疏矩阵中零元素的分布与控制网的图形和点号的排列次序有关。下面先以水准网平差为例来叙述。图4-3-1的水准网，已知和观测值表4-3-1。 表4-3-1：水准网观测值表线号高差距离A 11 2+1.036m-0.8453.5km1.02 33 B244 55 B-0.133+0.917+1.121-0.164-0.1692.03.31.22.02.5误差方程式为v1 = x1 l1 权 0.4v2= x1 + x2 l2 1.0v3= x 2+ x3 l3 0.5v4= x3 l4 0.3v5= x2 + x4 l5 0.8v6= x4 + x5 l6 0.5v7= x5 l7 0.4组成法方程系数矩阵（表4-3-2），从表中可以看出，在
