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1、例1 设在0,3上连续,在(0,3)内可导,且,. 试证:必存在,使 证: 在0,3上连续, 在0,2上连续,且有最大值和最小值.于是;,故. 由连续函数介值定理可知,至少存在一点使得,因此,且在,3上连续,(,3)内可导,由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0,1上连续,(0,1)内可导,且求证:存在使证:由积分中值定理可知,存在,使得得到 对在0,c上用罗尔定理,(三个条件都满足)故存在,使例3 设在0,1上连续,(0,1)内可导,对任意,有,求证存在使证:由积分中值定理可知存在使得令,可知这样,对在上用罗尔定理(三个条件都满足)存在,使而 又,则 在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗
2、尔定理,否则结论只是,而且条件也不满足。因此如何构造一个函数,它与有关,而且满足区间上罗尔定理的三个条件,从就能得到结论成立,于是用罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键,下面的模型,就在这方面提供一些选择。模型:设在上连续,()内可导,则下列各结论皆成立。(1)存在使(为实常数)(2)存在使(为非零常数)(3)存在使(为连续函数)证:(1)令,在上用罗尔定理 存在使 消去因子,即证.(2)令,在上用罗尔定理 存在使 消去因子,即证。(3)令,其中 由 清去因子,即证。例4 设在上连续,在(0,1)内可导,试证: (1)存在,使。(2)对任意实数,存在,使得证明:
3、(1)令,显然它在0, 1上连续,又,根据介值定理,存在使即(2)令,它在上满足罗尔定理的条件,故存在,使,即从而 (注:在例4(2)的证明中,相当于模型中(1)的情形,其中取为,取为)模型:设,在上皆连续,()内皆可导,且,则存在,使证:令,则,显然在上满足罗尔定理的条件,则存在,使,即证.例5 设在0, 1上连续,(0, 1)内可导,为正整数。 求证:存在使得 证:令,则,用模型,存在使得故则例6 设在内可导,且,求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证:反证法:设,而在内,则令在上用罗尔定理(不妨假设否则结论已经成立)则存在使,得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7 设在二阶
4、可导,且,又 求证:(1)在()内; (2)存在,使 证:(1)用反证法,如果存在使,则对分别在和上用罗尔定理,存在使,存在使,再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内(2)由结论可知即,因此令,可以验证在上连续,在内可导,满足罗尔定理的三个条件故存在,使于是成立例8 设在上连续,(0,3)内二阶可导,且(I) 证明 存在 使(II) 证明 存在 使证:(I)由积分中值定理,存在,使故存在使即()由,可知,在上连续由价值定理可知存在,使,由于在上连续,内可导,且根据罗尔定理存在,使又在上连续,内可导,且根据罗尔定理存在(可知)使,最后对在上用罗尔定理可知存在使 (注:本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。请预览后才下载,期待您的好评与关注!)