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1、年 级初三学 科数学编稿老师田一鹏课程标题圆的两个重要性质一校黄楠二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 通过观察实验，理解圆的对称性，知道圆既是轴对称圆形，又是中心对称图形。 2. 理解垂径定理及其推论，体验垂径定理的推导过程，运用其性质解决实际问题。二、重难点提示重点：垂径定理的应用。难点：垂径定理与其他知识的综合应用。一、知识结构二、解题策略与方法平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。【平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点称为圆心，定长称为半径。】圆是一种“完美”的图形，其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心对称图形，而且体现在它的旋转
2、不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合。由圆的对称性引出了许多重要的定理：圆的轴对称性垂径定理圆的旋转不变性三量（弦、弧、角）对应关系定理【在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论。】这些性质在有关圆的计算和证明等方面有广泛的应用，一般是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合。熟悉如下的基本图形1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。由圆的轴对称性易得垂径定理：直径AB所在的直线是线段CD的中垂线。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧如图所示：若AB是O的直径，C
3、DAB于E则CEED 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于该弦，且平分该弦所对的两条弧。事实上：在垂径定理中，对于条件：直径弦与直径垂直直径平分弦直径平分弦所对的劣弧直径平分弦所对的优弧这五条中，知道其中任意两条便可推出其余三条。垂径定理的应用相当广泛，主要表现在以下三方面：计算功能：如图：构造以半径R、弦AB（a）和弦心距OE（d）的直角三角形分析：在RtAOE中，由已知边、角求未知边、角，进而求出弦长AB和圆的直径CD的长。注：过圆心O作弦AB的垂线段OE，垂线段OE称为弦心距。证明功能：如图：AB是O的直径，EF是弦，BCEF于C，ADEF于D。求证：CEFD分析：通过作弦心距OM易得O
4、MBCAD又由AOOB得出CMMD，再根据垂径定理得到EMMF，进而得出CEFD 这一结论。说明：此题还可以进行变化，讨论如果弦EF与直径AB相交，结论是否仍然成立？作图功能：例如：把已知弧二等分，四等分等。作法：（1）连结AB；（2）作AB的中垂线交于C，则点C为的中点；（3）若再连结AC，CB，分别作AC，CB的中垂线交于D、E， 则D、C、E把四等分。值得注意的是：见如下反例点D、C、E是的四等分点吗？你能说明其中的理由吗？2. 圆具有绕圆心旋转的不变性由圆的定义可知圆不仅是中心对称图形，还可得出圆绕着圆心O旋转任意角度都可以和原图形重合的性质，我们称它为圆的旋转不变性。由这条性质得到圆
5、的三组量（弦、弧、角）之间的关系定理。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。具体应用时可分为：*在同圆、等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。*在同圆、等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。*在同圆、等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。*在同圆、等圆中，相等的弧所对的弦相等。能力提升类例1 在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，求BAC度数一点通：在图中作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系解：过O分别作AB、AC的垂线，垂足分别为D、E，则，OA1，OAD30，OAE45。BAC75或者BAC15。如图所示。 评析：
6、由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来。例2 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m。求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）一点通：首先把实际问题转化为数学问题，再借助已有的数学知识进行解决。转化过程中要弄清有关名词，如跨度、弓形及弓形高，在分析题意转化过程中，构造直角三角形，通过解直角三角形达到求解目的。解：如图所示，设由桥拱假设的圆心为O，半径为Rm。连结OA、OB，过点O作
7、OCAB，D为垂足，与相交于点C。 ADBD， AB37.4，DC7.2 ODOCDCR7.2 在RtOAD中，由勾股定理，得 OA2AD2OD2， 即R218.72（R7.2）2 解这个方程，得R27.9（m） 答：赵州石拱桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m。评析：这是一道与圆有关的实际问题的典型题目，要注意问题的转化方法，辅助线的添加、叙述要力求准确。将实际问题转化为数学问题后要按要求答题。例3 如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由。一点通：此题是一道开放型例题，首先要依据题目进行分析，写出判
8、断的结果，然后再根据题意加以证明，证明的关键是证出和所对的圆心角相等。解：连结AE，是平行四边形，即，又。 评析：弧是圆中的基本概念，理解这个概念应注意：等弧的长度是相等的，但长度相等的弧不一定是等弧，这是因为“弧是曲线，不仅与长度有关，还与弯曲程度有关”。在同圆或等圆中，要证明两条弧相等，通常需要证明两弧所对的圆心角相等。综合运用类例4 如图，A、B、P、C是O上的四个点，APCCPB60，判断ABC的形状，并证明你的结论。 一点通：要判断ABC的形状，只需找出各边之间的关系或者求出角的度数，或者找出角之间的关系即可。解：ABC是等边三角形。在O中，BAC与CPB是所对的圆周角，BACCPB
9、，同理：ABCAPC。又APCCPB60，ABCBAC60，60ABC为等边三角形。例5 如图，已知点A、B、C、D顺次在O上，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM。一点通：用截长（截AM）或补短（延长DC）的方法证明，将问题转化为线段相等的证明，证明的关键是促使不同量进行的相互转换并加以突破。解：证法一：如图作BNDC交DC延长线于N，则BND90。BMAC于M，BMA90。BMABNDBAC与BDC是所对的圆周角，BACBDC。ABBD。RtABMRtDBN，AMDN，BMBN,在RtBMC和RtBNC中，BMBN，BCBCRtBMCRtBNC，CMCN,AMCMDC。证法二：
10、如图，延长AC至N，使MNMA，BMAC于M，BNBABD。BDNBND, BAMBNM。BAC与BDC是所对的圆周角，BACBDC。CDNCND。DCCN。AMCMDC。思维拓展类例6 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ） A. B. C. D. 一点通：所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点，通过设未知数求解。解：选D。如图，得解得，评析：覆盖问题是数学竞赛中常见的一个技巧性很强的题目类型。所谓覆盖，通俗地说就是用一个或几个图形去完全遮住另一个给定的图形，由于这类问题所涉及的数学知识面相当广泛，故始终是数学爱好者们在学
11、习数学时的一个难点。覆盖问题在实际生活中的应用也相当广泛，比如消防中心和救护车等应急服务设施的选址问题，移动通信站点的布局问题都和覆盖问题有关。例7 （1）如图1，圆内接ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的。（2）如图2，若DOE保持120角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的。一点通：对于（1），连结0A、0 C，则，只需证明OAGOCF；对于（2），类比（1）的证明方法证明即可。解：（1）证明：过点O作OHAB于点H。
12、 等边ABC是O的内接三角形，ODBC ，OHAB，OEAC B=C=60，BHO=BFO=CFO=CGO=90， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG FOH=FOG=18060=120，四边形BFOH四边形同理：四边形BDOH四边形AHOG四边形BFOH四边形CFOG四边形AHOG，又 （2）证明：过圆心分别作，ONAC，垂足为M、N。 则有OMF=ONG=90，OM=ON，MON=FOG=120 MONFON=FOGFON，即MOF=NOGMOFNOG， 若DOE保持120角度不变，当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的。
13、理解垂径定理要注意：1. 这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段、其本质是“过圆心”。2. 垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立。3. 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。4. 垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具两个性质：经过圆心；垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：平分弦；平分弦所对劣弧；平分弦所对优弧。问题：例2中的赵州桥问题是一道实际问题的典型题目，其中所涉及的内容还在哪些地方用到？基本解法是什么？解答：类似的问题经常出现在下水道问题，油罐车问题等。解决这类问题的基本方法是依据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理进行计算与证明。把构造直角三角形的过程记为：弦与弦心距，亲密紧相连。（答题时间：60分钟）一、选择题 1. AB、CD分别是两个圆中的弦，如果ABCD，那么的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定 2. 如图，O的半径为5，AB为弦，OCAB，垂足为C。若OC3，则弦AB的长为（ ） A. 4B. 6C. 8D. 10 3. 半径为6的O内一点D到O的距离为3，则过D点的最短弦长为（
