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1、9三角函数的简单应用知识点建立三角函数模型 填一填建立三角函数模型的步骤如下：答一答怎样解答三角函数应用题？提示：(1)审清题意，读懂题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)搜集整理数据，建立数学模型根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式(3)讨论变量关系根据上一
2、步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值(4)作出结论根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论(1)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题(2)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机类型一已知实际问题的模拟曲线求解析式 【例1】已知如图表示电流强度I与时间t的关系IAsin(t)在一个周期内的现象(1)试根据图像写出IAsin(t)的解析式；(2)为
3、了使IAsin(t)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值|A|，那么正整数的最小值是多少？【思路探究】由图像确定振幅A，初相.【解】(1)由图像可知A300，又T()，100.又t时，t0，100()0，即，I300sin(100t)(答案不唯一)(2)问题(2)等价于T，即，200.所以最小正整数629.规律方法 这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的A，的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
4、yAsinx(A0，0)，x0,4的图像，且图像的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.求A，的值和M，P两点间的距离解：依题意，有A2.3，T12，又T，y2sinx.当x4时，y2sin3，M(4,3)又P(8,0)，|MP|5.类型二建立三角函数模型解决实际问题 【例2】某港口水深y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深表：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经拟合，由上述数据描成的曲线如图，该曲线可近似看成正弦函数yAsintb的图像
5、(1)试根据数据表和曲线，求出yAsintb的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)?【思路探究】(1)选择t0,3时的函数值，即可求得待定系数A，b，结合函数的周期性，求得，即得解析式(2)根据(1)中所求函数解析式，把求函数值不少于4.5711.5(m)的时间段，转化为解不等式【解】(1)从拟合的曲线可知，函数yAsintb在一个周期内由最大变为最小需要936(h)，此为半个周期，所以函数
6、的最小正周期为12 h，因此12，得.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，所以b10，A13103.于是所求函数解析式为y3sint10.(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应大于或等于74.511.5(m)令y3sint1011.5，可得sint.所以2kt2k(kZ)，所以12k1t12k5(kZ)取k0，则1t5；取k1，则13t17；取k2，则25t29(不合题意)所以该船可以完全进港的时间为1点至5点和13点至17点；船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点(1点至5点都可以)进港，下午17点(即13点至17点之间
7、)前离港，在港内停留的时间最长为16 h.规律方法 数据拟合问题，实质是根据题目中提供的数据画出简图，求出相关三角函数的解析式，进而研究实际问题在求解具体问题时需明确A，的含义，明白了这三个参数的含义，就可以实现符号语言(解析式)与图像语言(函数图像)之间的相互转化下图是一半径为3 m的水轮，水轮截面圆的圆心O距离水面2 m已知水轮上一点P自点P0开始旋转，15 s旋转一圈，点P的纵坐标y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式yAsin(t)2，则有(A)A，A3 B，A3C，A5 D，A5解析：因为T15，所以，显然ymaxymin6，故A3.类型三读图能力和基本的运算技能 【例3】
8、如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足yAsin(x)b.(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式【思路探究】注意分析图像，如图像经过(6,10)这个点(1)由图可知，这段时间的最大温差是301020()(2)图中从6时至14时的图像是函数yAsin(x)b的半个周期的图像【解】(1)这段时间的最大温差是301020()，(2)146，T16，这时y10sin(x)20，将x6，y10代入上式，可得，所求的解析式为y10sin(x)20，x6,14(答案不唯一)某地夏天一天的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0，0,085解得【解题】(1)由题意，A50，b60，T3；故，故y50sin(t)60；则由50sin6010及，得，；故y50sin(t)60；(2)在第一个3分钟内求即可，令50sin(t)6085；则sin(t)；故t，解得，1t0)的初相和频率分别为和，则它的相位为3x.解析：初相，频率是，周期为，.即3，其相位是3x.三、解答题6如图，点P是半径为r cm的砂轮边沿上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动，P0Ox，求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求点P的运动周期和频率解：当质点P从点
