留数定理在定积分中的应用(

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1、本科毕业论文本科毕业论文 学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2010 级 4 班 姓 名 张松玲 论文题目 留数定理及其在积分中的应用 指导教师 冯志敏 职称 讲师 2014 年 03 月 28 日 学号: 20105034040 目目 录录 摘 要.1 关键词.1 AbstractAbstract.1 KeyKey wordswords.1 0 前言.1 1 留数定义及留数定理.2 1.1留数的定义.2 1.2留数定理.2 2 留数定理在定积分中的应用.3 2.1形如 2 0 )sin,(cosdxxxf型的积分.3 2.2形如 dxxf)(型的积分.4 2.3形如

2、dxe xQ xP imx )( )( 型的积分.5 2.3.1 留数公式.5 2.4形如mxdx xQ xP cos )( )( 和mxdx xQ xP sin )( )( 型积分.6 2.5 计算积分路径上有奇点的积分 8 3 通过留数定理推出其他重要公式 .9 3.1 留数定理推出柯西-古萨定理 9 3.2 留数定理推出高阶导数公式10 参考文献12 留数定理及其在定积分中的应用留数定理及其在定积分中的应用 姓名:张松玲 学号:20105034040 学院:数学学院 专业:信息与计算科学 指导教师:冯志敏 职称:讲师 摘摘 要要: :本文首先介绍留数定义及留数定理,然后针对具体不同的积分

3、类型举例 说明几类特殊函数的定积分.可以看出有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利 用留数定理能收到很好的效果. 关键词关键词: : 留数定理；定积分；应用 TheoremTheorem ofof ResiduesResidues andand itsits applicationsapplications AbstractAbstract: In thesis, we introduce the definition of residue and obtain the theorem of residues. By using some examples, we explain the

4、 computation of definite integrals of some kind of special functions. From these, we know that the theorem of residues is a good method to compute some definite integrals which are difficult or unable to be computed in real integral theory. KeyKey words:words: theorem of residues; definite integral;

5、 application 0 0 前前 言言 留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展, 这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的 选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定 了充分的基础1. 1825 年,柯西(Cauchy) 在其关于积分限为虚数的定积分的报告中,基于与 计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义. 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义: 若函数)(zf

6、在),(araD上全纯,其中0r. a为)(孤立奇点, )(zf在 a的留数定义为 rdzzf i afs az 0, 2 1 ),(Re. 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一 些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然 地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出 了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整 个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义. 具体思路: 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把 沿闭路的积分转化为计

7、算孤立点处的留数.此外,在数学分析及实际问题中,往往一些 被积函数的原函数不能用初等函数表示,有时即便可以,计算也非常复杂.我们利用留 数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分,从而把待求积分转化为留 数计算. 1 1 留数定义及留数定理留数定义及留数定理 1.11.1留数的定义留数的定义 设函数)(zf以有限点a为孤立点,即 f z在点a的某个去心邻域0z aR内 解析,则积分 1 :,0 2 f z dzz aR i 为 f z在点a的留数,记为: )(Rezfs az . 1.21.2留数定理留数定理 介绍留数定理之前,我们先来介绍复周线的柯西积分定理: 设D是由复周线 012

8、 CCCC n C所围成的有界连通区域,函数)(zf在 D内解析,在CDD 上连续,则 C dzzf0)(. 定理定理 1 1 1 （留数定理） 设 f z在周线或复周线C所范围的区域D内, 除 12 ,a a , n a 外解析,在闭域 _ DDC上除 12 ,a a , n a 外连续,则（“大范围”积 分） C n k az zfsidzzf k 1 )(Re2)( （1） 证明 以 k a为心,充分小的正数 k 为半径画圆周 kk az :（1,2,k ,n） 使这些圆周及内部均含于D,并且彼此相互隔离,应用复周线的柯西定理得 C n k dzzfdzzf k 1 )()(, 由留数的

9、定义,有 k k zfsidzzf az ).(Re2)( 特别地,由定义得 2Re k k z a f z dzis , 代入（1）式得 1 2Re k n z a k C f z dzis f z . 2 2 留数定理在定积分中的应用留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分或反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型 的积分. 2.12.1形如形如 2 0 )sin,(cosdxxxf型的积分型的积分 这里cos ,sinfxx 表示cos ,sinxx 的有理函数,并且在0,2上连续,把握此类积 分要注意,第一:积分上下限之差为2,这样当作定积分时x从0经历变到2,对应 的复

10、变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变 量。当满足这两个特点之后,我们可设 ix ze,则dzizdx, iz z i ee x ixix 2 1 2 sin 2 , z zee x ixix 2 1 2 cos 2 得 z dz iz z z z fdxxxf z 1 22 2 0 2 1 , 2 1 )sin,(cos )(Re2 1 0 zfsi n k zz . 例 1 计算 2 0 cos35 d I. 解 令 i ze ,则 2 0 cos35 d I 1 2 )3103( 2 z dz zzi = 1 )3)(13( 12 z dz zzi = 2

11、 3 )3)(13( 1 Re2 2 3 1 zz si i z 3 2 . 例 2 计算 2 2 023cos dx I x . 解 iz dz z z x dx I z 1 2 2 0 2 2 1 32 2 )cos32( dz zz z i z 1 22 )334( 4 , 1 3 43 4 1 2 z zz zdz i 由于分母有两个根 12 1 ,3 3 zz ,其中 12 1,1zz , 因此 I 1 4 2Re4 3 z z is i . 2.22.2形如形如 dxxf)(型的积分型的积分 把握此类积分要注意,首先分析其函数特点,函数必须满足一下两条才能适用.第 一: )( )(

12、 )( zQ zP zf,其中 P(z), Q(z)均为关于z 的多项式,且分母 Q z的次数至少比 分子 P z的次数高两次；第二: f z在半平面上的极点为 k z（k1,2,3,n）, 在实轴上的极点为 k x（k1,2,3,n）则有 1 2Re k n z z k f x dxis f z . 例 3 计算 2 42 1 x Idx xx . 解 取 22 42 22 111 zz f z zzzzzz , 孤立点为 1234 13131313 , 22222222 zi zi zi zi ,其中落在上半 平面的为 1 z , 3 z ,故 2 1 2Re 3 k z z k Iisf z . 例 4 计算 2 2 22 0 x Idx a xa . 解 由于 2 2 22 lim0 z z z za ,且上半平面只有一个极点 i a ,因此 2 2 22 x I xa 2 2 22 2Re z ai z is za 2 2 2 z ai z i zai