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1、第七章7.37.3.17.3.2 A组素养自测一、选择题1设复数zabir(cos isin ),其中a,bR,r,arg z,下列说法正确的是(D)Ar0,0,2)Br0,(0,2)CrR,(,)Dr0,0,2)解析由复数三角形式的特征知,r0,02.故选D2复数2辐角的主值是(C)ABCD解析解法1:22,辐角的主值为,故选C解法2:复数对应点在第三象限,辐角主值是第三象限角.3将代数形式的复数z2i改写成三角形式为(D)A2cos isin B2C2D2解析因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上,所以易知|2i|2,arg(2i),从而可知2i2.4复数i的辐角主值为(D)ABCD解
2、析i22,又0,2),故i辐角的主值为.5复数(sin 10icos 10)(sin 10icos 10)的三角形式是(B)Asin 30icos 30Bcos 160isin 160Ccos 30isin 30Dsin 160icos 160解析令zsin 10icos 10,其三角形式为zcos 80isin 80,所以zz(cos 80isin 80)2cos 160isin 160,故选B二、填空题6设zi,对应的向量为,将绕点O按逆时针方向旋转30,则所得向量对应的复数为_2_.解析根据复数乘法的几何意义,所得向量对应的复数为:(i)(cos 30isin 30)(i)27计算下列式
3、子,写出其结果的代数形式:52_i_.解析521010i.8计算(cos 40isin 40)(cos 10isin 10)_i_.解析(cos 40isin 40)(cos 10isin 10)cos(4010)isin(4010)cos 30isin 30i.三、解答题9把下列复数表示成三角形式.(1)5;(2)i;(3)i;(4)1i;(5)33i;(6)43i.解析(1)55(cos 0isin 0);(2)icos isin ;(3)icos isin ;(4)1i22;(5)33i66;(6)43i55(cos isin )(其中tan ).10已知z1i,求复数的模和辐角主值,并
4、写出复数的三角形式.解析z1i,1i,|,1i对应的点在第四象限且tan 1,辐角的主值为,复数的三角形式为.B组素养提升一、选择题1(多选)复数z3i化为三角形式正确的是(AD)Az2(cosisin)Bz2(cosisin)Cz2(cosisin)Dz2(cosisin)解析z3i2(i)2(cosisin)2(cosisin),故选AD2设复数2i和3i的辐角主值分别是,则tan()等于(D)ABC1D1解析因为复数2i和3i的辐角主值分别是,所以tan ,tan ,所以tan()13向量,分别对应非零复数z1,z2,若,则是(B)A负实数B纯虚数C正实数D虚数abi(a,bR,a0)解
5、析设复数z1r1(cos 1isin 1),z2r2(cos 2isin 2),由于,所以cos(12)isin(12)cos(90)isin(90)i,即为纯虚数.故选B4设,则复数的辐角主值为(B)A23B32C3D3解析cos 3isin 3.,33,32,则辐角主值为32.故选B二、填空题5复数z(ai)2的辐角主值为,则实数a_1_.解析由于复数z的辐角主值为,故zrir,又z(ai)2a212ai,所以a212aiir,所以a210,2ar,故a16_22i_.解析4422i.三、解答题7若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1,z2,z3,满足zz1z3且z2iz3i0,求复数z1,z2,z3解析设z1cos isin ,z2cos isin ,z3cos isin ,则由z2iz3i0,可得利用cos2sin21,解得所以,z3.当z3时,z2i(z31),z11;当z3时,z2i(z31),z118计算的值.解析21i.