计算机二进制、八进制、十六进制及反码原码补码、逻辑运算

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1、二 进 制 数 据 的 表 示 法 二进制数据也是采用位置计 数 法 ，其位 权 是以 2 为底的幂 。例如二进制数据 110.11，逢 2 进 1，其权的大小顺序为 22、2 1、2 0、2 -1、2 -2。对于有 n 位整数，m 位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为： （ a(n-1)a(n-2).a0.a(-m)） 2=a(n-1) * 2 (n-1)+ a(n-2) *2(n-2) + .a * 2(0).+a(-m)* 2(-m)二进制数据一般可写为：（a(n-1)a(n-2)a(1)a(0).a(-1)a(-2)a(-m)）2。 注意： 1.式中 aj 表示第 j 位的系

2、 数 ，它为 0 和 1 中的某一个数。 2.a(n-1)中的(n-1)为下 标 ，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。 3.22 表示 2 的平方，以此类推。 【例 1102】将二进制数据 111.01 写成加权系数的形式。 解：（111.01）2=(122)+(121)+(120)+(02-1)+(12-2) 二进制和十 六 进 制 ，八进制一样，都以二的幂来进位的。二进制运算二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。1.二进制加法运算有四种情况： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ps:0 进位为 1 【例 1103】求 (

3、1101)2+(1011)2 的和 解： 1 1 0 1 +1 0 1 1 - 1 1 0 0 0 2.二进制乘法运算有四种情况： 00=0 10=0 01=0 11=1 【例 1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积 解： 1 1 1 0 1 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 - 1 0 0 0 1 1 0 (这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到 2 就进了) 3. 二进制减法 00=0，10=1，11=0 ，101=1 。 4. 二进制除法 00=0， 01=0，11=1，10=0 （无意义）5. 二进

4、制拈加法 拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。 拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。此算法在博 弈 论 （Game Theory）中被广泛利用 计 算 机 中 的 十 进 制 小 数 转 换 二 进 制 计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。 比如 0.65 换算成二进制就是： 0.65 * 2 = 1.3 取 1，留下 0.3 继续乘二取整 0.3 * 2 = 0.6 取 0， 留下 0.6 继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取 1，留下 0.2 继续乘二取整 0.2 * 2 = 0.4 取 0， 留下 0.4 继续乘二取整 0.4 * 2 = 0.8 取

5、0， 留下 0.8 继续乘二取整 0.8 * 2 = 1.6 取 1， 留下 0.6 继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取 1，留下 0.2 继续乘二取整 . 一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等） 。这时，十进制的 0.65，用二进制就可以表示为：1010011。 还值得一提的是，在目前的计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16 进制都是无符号的。在现实生活和记数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“ 灭”，开关的“开”与“ 关”。一种状态表

6、示数码 0，另一种状态表示数码1，1 加 1 应该等于 2，因为没有数码 2，只能向上一个数位进一，就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。1+1=10， 10+1=11， 11+1=100，100+1=101，101+1=110，110+1=111 ，111+1+=1000， 可见二进制的 10 表示二，100 表示四，1000 表示八，10000 表示十六，。 二进制同样是“位值制” 。同一个数码 1，在不同数位上表示的数值是不同的。如 11111，从右往左数，第一位的 1 就是一，第二位的 1 表示二，第三位的 1 表示四，第四位的 1 表示八，第五位的 1

7、 表示十六。 所谓二进制，也就是计算机运算时用的一种算法。二进制只由一和零组成。 二进制是世界上第一台计算机上用的算法，最古老的计算机里有一个个灯泡，当运算的时候，比如要表达“一”，第一个灯泡会亮起来。要表达“ 二”，则第一个灯泡熄灭，第二个灯泡就会亮起来。 二进制就是等于 2 时就要进位。 0=00000000 1=00000001 2=00000010 3=00000011 4=00000100 5=00000101 6=00000110 7=00000111 8=00001000 9=00001001 10=00001010 即是逢二进一，二进制广泛用于最基础的运算方式，计算机的运行计算

8、基础就是基于二进制来运行。只是用二进制执行运算，用其他进制表现出来。其实把二进制三位一组分开就是八进制, 四位一组就是十六进制。进制转换十 进 制 数 转换为二进制数、八 进 制 数 、十 六 进 制 数 的方法：二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法 1 二 进 制 与 十 进 制 间 的 相 互 转 换 ：（1）二进制转十进制 方法：“按权展开求和” 例： （1011.01）2 =（123+022+121+120+02(-1)+12(-2) ）10 =（8+0+2+1+0+0.25）10 =（11.25）10 规律：个位上的数字的次数是 0，十位上的数字的次数是

9、 1，.，依次递增，而十 分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是 -2，.，依次递减。 注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。 （2）十 进 制 转 二 进 制 十进制整数转二进制数：“除以 2 取余，逆序排列”（除二取余 法 ） 例： （89）10 =（1011001）2 892 1 442 0 222 0 112 1 52 1 22 0 1 十进制小数转二进制数：“乘以 2 取整，顺序排列”（乘 2 取整法） 例： (0625)10= (0101)2 0.625X2=1.25 1 0.25 X2=0.50 0 0.50 X2=1.00 1 2.八 进 制 与 二 进

10、 制 的 转 换 ：二进制数转换成八进制数：从小数点开始，整 数 部 分 向左、小数部分向右，每 3 位为一组用一位八进制数的数字表示，不足 3 位的要用“0”补足 3 位，就得到一个八进制数。 八进制数转换成二进制数：把每一个八进制数转换成 3 位的二进制数，就得到一个二进制数。 八进制数字与二 进 制 数 字 对应关系如下： 000 - 0 100 - 4 001 - 1 101 - 5 010 - 2 110 - 6 011 - 3 111 - 7 例：将八 进 制 的 37.416 转换成二进制数： 3 7 4 1 6 011 111 100 001 110 即：（37.416）8 =

11、（11111.10000111）2 例：将二 进 制 的 10110.0011 转换成八进制： 0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 2 6 . 1 4 即：（10110.011）2 = （26.14）8 3 十 六 进 制 与 二 进 制 的 转 换 ：二进制数转换成十六进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每 4 位为一组用一位十六进制数的数字表示，不足 4 位的要用“0” 补足 4 位，就得到一个十六进制数。 十六进制数转换成二进制数：把每一个十六进制数转换成 4 位的二进制数，就得到一个二进制数。 十六进制数字与二进制数字的对应关系如下： 0000 - 0 0

12、100 - 4 1000 - 8 1100 - C 0001 - 1 0101 - 5 1001 - 9 1101 - D 0010 - 2 0110 - 6 1010 - A 1110 - E 0011 - 3 0111 - 7 1011 - B 1111 - F 例：将十六进制数 5DF.9 转换成二进制： 5 D F 9 0101 1101 1111 1001 即：（5DF.9）16 = （10111011111.1001）2 例：将二进制数 1100001.111 转换成十六进制： 0110 0001 1110 6 1 E 即：（1100001.111）2 =（61.E）16二进制、十

13、六进制、十进制的快速转换8421 法记住 8421，对于任意一个 4 位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的 10 进制值。下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分） 仅 4 位的 2 进 制 数 快速计算方法 十进制值 十六进值 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 =

14、8 + 0 + 0 + 1 = 9 9 . 0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 二进制数要转换为十六进制，就是以 4 位一段，分别转换为十六进制。 如(上行为二制数，下面为对应的十六进制) ： 1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 F D ， A 5 ， 9 B 反过来，当我们看到 FD 时，如何迅速将它转换为二进制数呢？ 先转换 F：看到 F，我们需知道它是 15（可能你还不熟悉 AF 这五个数） ，然后 15如何用 8421 凑呢？应该是 8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为 1 ：1111。 接着转换 D：看到 D，知道它是 13，13 如何用 8421 凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。 所以,FD 转换为二进制数，为： 1111 1101 由于十 六 进 制 转 换 成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成 2 进制数时，也可以先转换成 16 进 制 ，然后再转换成 2 进制。 比如，十进制数 1234 转换成二制数，如果要一直除以 2，直接得到 2 进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以 16，得到 16 进制