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1、专题26 奇偶分析例1 668 提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是 ：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为20043668.所以前2004个数中共有668个偶数.例2 D例3 假设存在自然数a和b，使 .则（ab）(ab)200221001，若a，b同为奇数或同为偶数，则（ab）（ab）必定是“偶数偶数”；若a，b为一奇一偶，则(ab)(ab)必定是“奇数奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数奇数”相矛盾，故找不到自然数a和b，使 .例4 提示：设6张卡片正面写的数是 ，反面写的数对应为 ，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为 .设这6个数两
2、两都不相等，则它们只能取0，1，2，5这6个值，于是012515是个奇数.又 与 （i1，2，3，6）的奇偶性相同，所以 与 的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾.例5 提示：不能，理由如下： 将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2，Z用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁： 19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19 1 4 22 24 3 6 25 1 表丙 表丁 这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换： 12， 23，2526， 261.显然，每次操作不改变这16个数
3、字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213，174，它们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙例6 由于乘积都是1或1，且总和为0所以一定有偶数项，即n一定是偶数2m.将上面的n个数相乘，一方面，其中的1和1各有m个，所以它们的乘积为 ，另一方面，在乘积中，作为因数都出现四次，所以乘积为1，于是，m为偶数，故n是4的倍数【能力训练】1偶2. 1999 提示：由 b2 001知 ，b必为一奇一偶又 a是质数且a为偶数a2，b 997，故ab 1 999.3. 19或254. 19提示：在中，十位数字是奇数的只有 16， 36，两位数的平方可以表示为 =100 20ab ，
4、它的十位数的奇偶性与 十位数字的奇偶性相同，因此，b只能取4与6，即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数5D 提示：设是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果 (1i3)是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以，只能是偶奇奇偶奇，故有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5;2，3，5，4，1;2，5，1，4，3;4，3，1，2， 5；4，5，3，2，1.6B 7C 8D9.提示： 10考虑黑板上保留奇数的个数. 经过一次操作，如果是一个奇
5、数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变 如果是两个奇数，则和或差为偶数奇数的个数减少2 个；如果是两个偶数，则和或差为偶数奇数的个数保持不变.由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变 由于一开始黑板上共有奇数，即有奇数个奇数经过若干次操作后，黑板上一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为011找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a，b，c满足等式，则左边四个式子中至少有一个是偶数，不妨abc为偶数，则abc(abc)2b，abc (abc) 2c，(bca)(abc)2a都为偶数，从而左边能被16整除，而3 388不 能被16整除，得出矛盾12. 盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态，因1999 72854，又A，B，C，D四盏灯的开关各被拉动了286次，而E，F，G三盏灯的开关各被拉动了285次，所以，小刚拉动了1 999次开关后，A，B，C，D四灯不改变状态，E，F，G三灯将改变原来的状态，故A，C，F最后是开着的，
