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1、关于弹性碰撞碰后速度的另一种求法【摘要】传统的弹性碰撞中根据动能守恒和动量守恒能求出碰后 速度;本文认为在弹性碰撞中两个发生形变的物体,碰撞后形变复原包含另一种解题思路,可以让计算变的简单。【关键词】弹性碰撞碰后速度在高中课本中关于弹性碰撞问题 (本文所指均为正碰),有这样一 种类型的题目:两物体发生完全弹性碰撞,设物体 1质量为ml,碰 前速度为v1,物体2质量为m2,碰撞前速度为v2,求两碰撞物体碰 撞后的速度v1, v2。通常的做法是列如下两个方程:miM + m2v2 = mi%+m2v222221/2mv1 +1/2m2v2 = 1 / 2m1v1 +1/2m2v2 方程1为碰撞符合
2、动量守恒定理的数学表达式,而方程 2为碰撞 符合能量守恒定理的表达式,这种方法虽然容易理解,但计算起来比 较麻烦。接下来我介绍另一种计算方法。同样的问题用下列方程组解答:m1vhm2vm1v1m2v2v1 v1 v2 v2可以看到方程3和方程1相同,方程4比方程2简单的多,而方 程1和方程2构成的方程组与方程3和方程4构成的方程组求得的碰 撞后速度v1 , v2的值是一样的。在高中的历次考试中我均用此方法 很快的求出了最后结果。接下来我就为这个方程组的合理性进行证证明:由于在弹性碰撞前后两个相碰撞的物体的相对位置不变,因此在整个碰撞过程中,两碰撞物体的平均速度相同,设为V1 = & =V因此只
3、要证明完全弹性碰撞过程中每个碰撞物体碰前速度和碰后速 度的平均值为整个碰撞过程中该物体碰撞过程的平均速度即可。我们以整个弹性碰撞过程中的平均速度 V为参照系,则物体一的 碰前和碰后速度分别为(v1-v)和(v),物体二的碰前速度和碰 后速度分别为(V2 -V )和(V22-V )。则两碰撞物体(在此假设为两个 小球)碰撞过程可以简化为:两个相向运动的小球,在中间一点碰撞 后又相互弹开,在这个过程中没有发生同方向运动, 即两小球速度同 时降为零,然后又向相反方向弹开。之后的证明可以分为两种方式。方式一:在以平均速度V为参照系的情况下,由于两球没有发生 同向运动,因此如果在两碰撞小球速度降为零时,
4、 发生形变的接触面 上放一极薄的挡板,则两球受力完全不变,即小球运动方式同两球相 撞完全相同,但此时两小球相碰已被分隔成两弹性小球从两侧撞击一 挡板并被反弹回来。在弹性碰撞中,小球撞一挡板,会以原速度反弹 回去,因此在这里小球碰撞前的速度应该与碰后的速度大小相等方向 相反,即:小球一满足公式 Vi -v = -(W-V)V = J可变化为 2小球二满足公式 V2 -V = -M-V)V2 V2 v =可变化为 2公式4得证。方式二:也可以从公式的角度推导:因为两球速度同时降为零, 所以任意时刻总动量为零,即满足公式mi(vv) m2(v2 v) =0m(v-v) m2(v2v) =0根据能量守
5、恒定律同时又满足公式:1,、2,x 2 12 12m,(vi-v) ym2(v2-v) =;mi(vi-v) ;mi2(v2-v)2222化简三个公式得:因此可得吊-v = _(v_v)V2 v = -(v?- v)即:v=J= J 22在这个证明过程中我们得出的结论是:在弹性碰撞中,任何一个 参与碰撞的物体,其碰前速度和碰后速度的平均值就是该物体整个碰 撞过程的平均速度。因此对公式4的解读就是:在整个碰撞过程中,由于碰撞前和碰 撞后两物体的相对位置不变,因此两碰撞物体的平均速度是相等的; 并且,对于碰撞物体来说,碰前速度与碰后速度的平均值就等于平均 速度。这个公式的物理意义是:由于弹性碰撞时
6、,形变会完全复原,而 完全复原就是两物体的相对位置在碰撞前后不变,即平均值相同;由 于形变完全复原是弹性碰撞的充要条件,而弹性碰撞又是总动能不变 的充要条件;因此完全可以用速度平均值的相同代替传统解法中动能 守恒的方程式,两者是等价的。通过上面的分析我们知道,传统的解题方法是通过弹性碰撞动能 守恒这点出发列出方程求出碰撞后速度的, 而本文所提出的方法是从 碰撞问题的表象形变完全恢复,得出两碰撞物体总体平均速度相 同,并进一步的证明出碰前速度和碰后速度的平均值等于碰撞过程的 平均值这一结论从而列出解题方程的。 传统方法容易理解,但解题步 骤比较繁多,本文所说方法理解较为麻烦,但解题步骤简单,在解题 时可以节省一部分时间。