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1、第二章 常用逻辑用语1命题、定理、定义- 1 -2充分条件、必要条件、充要条件- 4 -3全称量词命题与存在量词命题- 9 -4全称量词命题与存在量词命题的否定- 13 -1命题、定理、定义基础练习1.下列语句中,是命题的个数是()垂直于同一条直线的两条直线平行吗?x,y都是无理数,则x+y是无理数;请完成第九题;正方形既是矩形又是菱形.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据命题的定义逐个判断.不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是假命题,例如-+=0,不是无理数;不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是真命题.2.下列四个命题中,可判断为真的是()A.空集没有子集B.空集是任何集合的一个真
2、子集C.空集的元素个数为0D.任何集合至少有两个不同子集【解析】选C.空集只有一个子集是它本身,故A、D错误;空集是任何非空集合的一个真子集,故B错误;C正确.3.将“等角的余角相等”改写成“如果,那么”的形式为_.【解析】根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.答案:如果两个角相等,那么它们的余角也相等4.有下列命题:对于任意mR,mx2+2x-1=0是一元二次方程;若xy=0,则+=0;互相包含的两个集合相等;如果两个角互为补角,那么这两个角和为180.真命题的个数是_.【解析】当m=0时,方程是一元一次方程,故是假命题;当x=1,y=0时,xy=0,但+0,
3、故是假命题;是真命题.答案:25.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)6是12和18的公约数;(2)能被6整除的整数,一定能被3整除;(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.(2)若一个整数能被6整除,则这个数能被3整除,是真命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.能够说明“设a,b,c是任意实数.若ab
4、c,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为()A.3,2,1B. 1,-2,-3 C.-1,-2,-3D. 0,-2,-3【解析】选C.所举反例应满足“若abc,则a+bc”,可设a,b,c的值依次为-1,-2,-3.2.下列叙述正确的有_个()若|a|=-a,则a0;若|a|=|b|,则a=-b;若ab,则|a|b|,则ab.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.绝对值等于其相反数的数是小于等于0的,故正确;绝对值相等的两个实数,相等或互为相反数,故错误;当a=-3,b=1时,a|b|,故错误;当a=-3,b=-1时,|a|b|,但a0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”是真命
5、题【解析】选D.选项A中的命题是假命题,例如120的角大于它的补角;B所给语句是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”.对于D,因为m0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式=12m+40.所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.3.下列命题中,是真命题的有()如果a-1,那么am-m(m0);在同一平面内,如果ab,bc,则ac;若x2+y2=0,则x,y全为零;正三角形都相似.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】选C.a-1,则当m0时,am-m,当m0时,am-1,那么am-m(m0)是假命题;在同一平
6、面内,如果ab,bc,则ac,故在同一平面内,如果ab,bc,则ac是假命题;是真命题,故真命题有2个.4.(多选题)下列命题中,是真命题的是()A.三边长为5,12,13的三角形是直角三角形B.等边三角形是轴对称图形,它只有一条对称轴C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等D.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=-2【解析】选ACD.对于A,由于52+122=132,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是正确的;对于B,等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,此命题是错误的;对于C,利用证两次全等的方法可以判断出:有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐
7、角三角形全等,故此命题正确;对于D,抛物线y=(x+2)2+1 的对称轴是直线x=-2,正确,是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p:_,q:_.【解析】已知命题可改写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.p:一条直线是弦的垂直平分线,q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.答案:一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6.给出下列几个命题:(1)若x,y互为相反数,则x+y=0;(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;(3)若x-
8、3,则x2+x-60.其中的假命题有_个.【解析】根据两数互为相反数的性质,(1)正确,为真命题;(2)由圆的内接四边形的性质可知,为真命题;(3)中若取x=3-3,而x2+x-6=60,故为假命题.答案:1三、解答题7.(10分)判断下列命题的真假:(1)若三条线段a,b,c满足a+bc,则这三条线段a,b,c能够组成三角形;(2)个位数字是5的整数,能被5整除;(3)对于所有的自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数;(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形.【解析】(1)a=2,b=5,c=3,满足a+bc,但不能围成三角形,所以命题为假.(2)因为个位数字是0或5的
9、整数,能被5整除,所以命题为真.(3)约数只有1和它本身的数就是质数. 当n=11时,n2-n+11=112不是质数,所以命题为假.(4)命题为真,理由如下:已知:如图,D为BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证:三角形ABC为等腰三角形;证明:如图,因为DE=DF,BD=CD,DEAB,DFAC,所以RtBDERtCDF,所以B=C,所以AB=AC,所以ABC为等腰三角形.2充分条件、必要条件、充要条件基础练习1.使|x|=x成立的一个必要条件是()A.x0D.x-1【解析】选B.因为|x|=xx0x0或x-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x0或x-1.
10、2.有以下说法,其中正确的个数为()(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(2) “两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.(1)由于“m是有理数”“m是实数”,因此“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应的角相等,所以“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3) 由(a+b)(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.【补
11、偿训练】设a,bR,则“(a-b)a20”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由(a-b)a20一定可得出ab;但反过来,由ab不一定得出(a-b)a20,b0.答案:k0,b0【补偿训练】“k4,b4,b5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,知x=0,y=b-50,所以b0,因为b4.故填“充要”.答案:充要5.下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件?(1)p:x2=x+6,q:x=;(2)p:b2=ac,q:=;(3)p:AB=A,q:
12、UBUA;(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=1或a=0.【解析】(1)由于“x2=x+6”,则“x=”,故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.(2)b2=ac =,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(3)画出Venn图(如图)可得.AB=AABUAUB,故p是q的充要条件.(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.所以pq,所以p是q的充要条件.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若非空集合A,B,C满足AB=C,且B不是A的子集,则()A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C.“xC”是“xA”的充分条件也是“xA”的必要条件D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件【解析】选B.xA必有xC,但反之不一定成立,所以“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件.2.(2020常州高二检测)盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品从军行中写道:青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.其最
