导数的几何意义新编写

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1、1.1.3 导数的几何意义,平均变化率,瞬时变化率,f(x0)或,主题1导数的几何意义 1.如图(1)，l1是否为曲线在点A处的切线？l2是否为曲线在点B处的切线？l2是否为曲线在点C处的切线？,提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线，不是以点C为切点的切线.,2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，结合图(2)直观地感知，当PnP时对应的一般曲线的切线？,提示:当PnP时，割线趋于确定的位置，这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.,3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，进一步，如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系？,提示:割线逼近切线，

2、不妨设点P(x0，y0)，Pn(x0+x，f(x0+x).割线PPn的方程为y-f(x0)= 当PnP，即x0时，变化的最终结果是 =f(x0)，故切线方程就是y-y0= f(x0)(x-x0).,结论:导数的几何意义 曲线y=f(x)在点_处的切线的斜率，用符 号表示为f(x0)=_=_.,P(x0，f(x0),k,【对点训练】 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)的几何意义是 () A.在点x0处的斜率 B.在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹的锐角的正切值,C.曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率 D.点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率,【解析】

3、选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)，即为曲线在点(x0，f(x0)处的切线的斜率.,2.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点，但只有_是它的切线，而_不是它的切线.,【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线，x轴不是切线. 答案:y轴x轴,【补偿训练】过曲线y=2x上两点(0，1)，(1，2)的割 线的斜率为_. 【解析】依题意得，割线的斜率为 =1. 答案:1,主题2导数的概念 已知函数y=x2，完成下表:,2,4,6,8,10,12,结论:导函数的定义 当x变化时，f(x)是x的一个函数，称它为f(x)的导 函数(简称导

4、数)，即f(x)=y=_.,【对点训练】 1.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的 截距为() A.10B.5C.-1D.,【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5，所以 f(x)=3x2+4， 所以f(1)=7，即切线斜率为7， 又f(1)=10，故切点坐标为(1，10)， 所以切线的方程为:y-10=7(x-1)，当y=0时，x= .,2.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)， 试求 的值.,【解析】由导数的概念和几何意义知， =f (1)=kAB= =-2.,类型一导数几何意义的应用 【典例1】(

5、1)如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0) (x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S=f(x)的图象为图中的(),(2)(2017福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是() A.0f(2)f(3)f(3)-f(2) B.0f(3)f(3)-f(2)f(2) C.0f(3)f(2)f(3)-f(2) D.0f(3)-f(2)f(2)f(3),【解题指南】(1)根据切线的倾斜程度，判断出函数升降的快慢，从而得到函数的变化趋势图. (2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小，且其值大于1;再由导数的几何意义，看出f(2)

6、与f(3)的大小且其值小于1.,【解析】(1)选D.函数的定义域为(0，+)，当 x0，2时，在单位长度变化量x内面积变化量 S越来越大，即斜率f(x)在0，2内越来越大， 因此，函数S=f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的; 当x(2，3)时在单位长度变化量x内面积变化量,S越来越小，即斜率f(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S=f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的;当x3，+)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，+)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.,(2)选B.根据导数的几何意义，在x2，3上，曲 线在x=2处切线斜率最大，k= =f(3)

7、 -f(2)f(3).,【方法总结】利用导数的几何意义研究函数的策略 函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.,类型二求曲线的切点 【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0，求切点P的坐标和实数a的值. 【解题指南】根据切线方程得到切线斜率为8，即f(x)=8，解导数方程即可得到结论.,【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k. 由y= = =4x，得 =4x0. 根据题意得4x0=8，x0=2，,分别代入y=2x2+a

8、和y=8x-15， 得a=-7，y0=1. 故所求切点为P(2，1)，a=-7.,【方法总结】求曲线切点坐标的步骤 (1)设切点:先设出切点坐标(x0，y0). (2)求斜率:求切线的斜率f(x0). (3)列方程:由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.,(4)求切点:因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标.,【跟踪训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线 y=4x+3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为 () A.(1，-8)B.(-1，-12) C.(1，-8)或(-1，-12)D.(1，-12)或(-1，-8),【解析】选C.设切点坐

9、标为P(x0，y0)， 则y0= +x0-10的切线斜率为k=,= =3x20+1=4， 所以x0=1， 当x0=1时，y0=-8，当x0=-1时，y0=-12， 所以切点坐标为(1，-8)或(-1，-12).,【补偿训练】在曲线y=x2上，点P处的切线垂直于直 线2x-6y+5=0，则P点坐标为() A.(2，4)B.( , ) C .( ， ) D.(-2，4),【解析】选B.f(x)= = =2x， 设P(x0，y0)是满足条件的点， 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直， 所以2x0 =-1，得x0= ，y0= .,类型三曲线的切线方程及其应用 【典例3】(1)曲线y=x3+11在点P

10、(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是() A.-9B.-3C.9D.15,(2)已知曲线方程为y=x2，则过点A(2，4)且与曲线相切的直线方程为_.,【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数，再求出切线方程，最后求与y轴交点的纵坐标. (2)由于点A在曲线上，可利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.,【解析】(1)选C. = = = =3，,所以曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线方程为y-12= 3(x-1)，即3x-y+9=0， 令x=0，解得y=9，所以曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.,(2)因

11、为f(x)= = = =2x， 又点A(2，4)在曲线y=x2上，所以f(2)=4，所以所 求切线的斜率k=4，故所求切线的方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0. 答案:4x-y-4=0,【方法总结】 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0). (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0= f (x0)(x-x0).,2.过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0，y0). (2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0). (3)利用Q在曲线上，点P(x1，y1)在切线上和f (

12、x0) =kPQ，解出x0，y0及f (x0).,(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0= f (x0)(x-x0).,【跟踪训练】 1.若曲线y=x2+ax+b在点(0，b)处的切线方程为 x-y+1=0，则() A.a=1，b=1B.a=-1，b=1 C.a=1，b=-1D.a=-1，b=-1,【解析】选A.将点(0，b)代入x-y+1=0中，得b=1， 由导数的几何意义得， k= = =a=1， 综上，a=1，b=1.,2.已知抛物线y=x2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点 到直线的最短距离. 【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到

13、直线x-y-2=0的距离最短. 设切点坐标为(x0，x20)，,则 =2x0=1， 所以x0= ，所以切点坐标为（ , ）. 切点到直线x-y-2=0的距离为d= = , 所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 .,【补偿训练】(2018泰安高二检测)如果f(x)是 二次函数，且f(x)的图象开口向上，顶点坐标为 (1， )，那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜 角的取值范围是() A.（0, B. , ) C.( , D. ,),【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 ， 再根据导数的几何意义可知k=tan ，结合正 切函数的图象求出角的范围.,【解析】选B.根据题意得f(x) ，则曲线y=f(x) 上任一点的切线的斜率k=tan ，结合正切函 数的图象可得 , ).,【知识思维导图】,