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1、第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 的12(,)pX联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 的子向量的12,p概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。2.2 设二维随机向量 服从二元正态分布，写出其联合分布和各边缘分布。12()X解：设 的均值向量为 ，协方差矩阵为 ，则其联121221合分布密度函数为。1/2 12 21 1() exp()()f x x2.3 已知随机向量 的联合密度函数为12()X21212()()(,)dcxabxcaxcfxd其中 ， 。求1ab2（1 ）随机变量 和 的边缘
2、密度函数、均值和方差；X（2 ）随机变量 和 的协方差和相关系数；12（3 ）判断 和 是否相互独立。（1 ）解：随机变量 和 的边缘密度函数、均值和方差；1X21 2122()()()()dxcxabxcaxcf dd1221222)()()dc xbabac12 12 20()()()dcdcxtxtd221212 0()()()1dcdcdcxabatxtb ba所以由于 服从均匀分布，则均值为 ，方差为 。1X2ba21同理，由于 服从均匀分布 ，则均值为2 2 ,()0xxcdfd其 它，方差为 。2dc21dc（2 ）解：随机变量 和 的协方差和相关系数；X212cov(,)x 1
3、21212 12()()()dbca dcxabxcaxcx dd()3612cov,x（3 ）解：判断 和 是否相互独立。X2和 由于 ，所以不独立。12121(,)()xff2.4 设 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是(,p相互独立的随机变量。解： 因为 的密度函数为12(,)pX 1/ 11(,.)ex()()2pfxx又由于212p221p21221p则 1(,.)pfx 211/22 21 2exp() ()1p p x 2221 3112 ()()()1exp.p pxx 211()e().pii pii f 则其分量是相互独立。2.5 由于多元正态分布的数学期
4、望向量和均方差矩阵的极大似然分别为 1niiX1()niii nX3560.27.120158.390.837250.-73680.3916157.19.-6-5-9 注：利用 , S 其中 1pnX()nnXI 01nI在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives ，打开 Descriptives 对话框。将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。图 2.1 Descriptives 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对
5、话框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue按钮返回主对话框。图 2.2 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333 ，17.1667 ，1.5250E2） 。 表 2.1 样本均值向量在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：1. 选择菜单项 AnalyzeCorrelateBivariate，打开Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图2.3。图 2.3 Biv
6、ariate Correlations 对话框2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。图 2.4 Options 子对话框3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵。 （另外，Pearson Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products 为样
7、本离差阵。 ） 2.6 无偏性；渐近无偏性、有效性和一致性；2.7 设总体服从正态分布， ，有样本 。由于 是相互独立的(,)pNX12,.nXX正态分布随机向量之和，所以 也服从正态分布。又 111()nnni iii iEEX22111()nnni ii i iDDX所以 。(,)pN2.8 方法 1： 1()niii1niiX1()()niiEX1niiE。1(1)ni n方法 2： 1()niiiSX-1(ni ii -)-X)11()2()()nnii ii i n X-)X1()()()niii-X1()()niii nX-1()()()niiiEn S-X。1()()niii E
8、X- 故 为 的无偏估计。S2.9.设 是从多元正态分布 抽出的一个简单随机样本，试求(1)2()n,., (,)pNX的分布。证明： 设为一正交矩阵，即 。*()11ijnn I令 ，1212n=()=X ,34,iX由 于 独 立 同 正 态 分 布 且 为 正 交 矩 阵所以 。且有12()n 独 立 同 正 态 分 布， ， 。1nnii1()niiEn()VarnZ1()(1,23,)naajErn1naj10najir1()()naajVr2211nnajjajr所以 独立同 分布。2n (0,)N又因为 1()njjiSX1njj因为 11nni ini i XXZ又因为 nnj
9、j 22111212nnXX 1212nZZ 所以原式 nnjjnjj ZX1112.nnZZ-故 ，由于 独立同正态分布 ，所以1njjS121,n (0,)pN1(,)njpjW2.10.设 是来自 的简单随机样本， ，()iX,piN1,23,ik（1 ）已知 且 ，求 和 的估计。2.k1 2.k1（2 ）已知 求 和 的估计。,解：（1） ，112.ankinxx12.akaiii k(2) 1ln(,)kL 21l)exp anknp aiaii-1(x)()11ln()l()l22ankaiaiiL-1,()(x)21 11l, ()()0ankaiii X1ln(,)()0(,
10、2.)jnj ijjiLk解之，得，1jnjjijx12.jnkjjji kniixx第三章3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答： 第一，提出待检验的假设 和 H1；0第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受） 。均值向量的检验：统计量 拒绝域在单一变量中当 已知 20()Xzn /2|z当 未知 tS /|(1)tn（ 作为 的估计量）221()niiS2一个正态总体 0
11、0H：协差阵 已知 21200()()(TnpX20T协差阵 未知 21),pFn(1)npF（ ） 2 100()()()nSX两个正态总体 012H：有共同已知协差阵 12()()(mTpnY20T有共同未知协差阵 2,1)pFTFnmF（其中 ）2 1()()()nTnmn XSX协差阵不等 -,pFFpZF协差阵不等 n1()(,)nn-S多个正态总体 kH210：单因素方差 (1)(,)SAFFnkEnF多因素方差 (,1)pnkETA协差阵的检验检验 0pHI：/2/21expnpetrS00：/*nt检验 12k 12k：统计量 /2/2/211i iknpnnpki iS3.2
12、 试述多元统计中霍特林 分布和威尔克斯 分布分别与一元统计中 t 分布和 F 分布的2 关系。答：（1）霍特林 分布是 t 分布对于多元变量的推广。2而若设 ， 且 与2 212()()()nXt SXS (,)pN(,)pWnSX相互独立， ，则称统计量 的分布为非中心霍特林 T2 分布。p2=()1()若 ， 且 与 相互独立，令 ，则 (,)pN0(,)pWnSS21TnS。21,1nTF（2 ） 威尔克斯 分布在实际应用中经常把 统计量化为 统计量，利用 统计量来解 F决多元统计分析中有关检验问题。与 统计量的关系p1n2统计量及分别任意 任意 1 111(,)(,)npnFp 任意 任意 2 11 1(,2)(,)npn1 任意 任意 112212(,)(,)F2 任意 任意 121 212(,)(,)nnFn 3.3 试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。012kH： 1ijHij： 至 少 存 在 使用似然比原则构成的检验统计量为 给定检验水(,1)pnkETA平 ，查 Wilks 分布表，确定临界值，然后作
