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1、1.1命题及其关系 1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系,自主学习 新知突破,1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题 2会写出一个命题的另外三种命题形式 3认识四种命题间的相互关系及真假关系 4会利用命题真假的等价性解决简单问题,为了研究问题的需要,有时需要由已知命题构造出新命题:如命题“若两个三角形全等,则它们的面积相等”可构造出下面几个新命题: 若两个三角形的面积相等,则它们全等 若两个三角形不全等,则它们的面积不相等 若两个三角形的面积不相等,则它们不全等 上面命题与命题、的条件和结论有什么关系?,提示与交换命题的条件和结论,与同时否定命题的条件和结论,与一个命题的条件和结论
2、恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,四种命题,结论,条件,互逆命题,逆命题,若q,则p,条件的否定,结论的否定,否命题,若p,则q,结论的否定,条件的否定,逆否命题,若q,则p,四种命题之间的相互关系,1四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况.,四种命题的真假性,真,真,假,真,真,假,假,假,2.四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有_的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_,相同,没有关系,1“互逆命题”、“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”的区别 两者具有不同的含义,具体区分如下: 前者说的是两个命题的关系,
3、同时涉及两个命题;后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题,2“命题”提醒 (1)我们研究四种命题,一般只研究“若p,则q”形式的命题;有些命题虽然不是这种形式,但可以化为“若p,则q”的形式 (2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解,定位在具体、简单的数学命题,重点是四种命题的构成形式及其真假判断 (3)四种命题是相对的,一个命题是什么命题不是固定不变的,但只要我们事先规定好哪个命题是原命题,那么它的其他形式的命题就确定了,1命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是() A“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是
4、正数,则它是负数” C“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析:原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数 答案:B,2命题“若f(x)是奇函数,则f(x)是奇函数”的否命题是() A若f(x)是偶函数,则f(x)是偶函数 B若f(x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 C若f(x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D若f(x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 解析:原命题的条件是f(x)是奇函数,结论是f(x)是奇函数,同时否定条件和结论即得否命题;若f(x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 答案:B,3命题“若ab0,则a0”与命题“若a
5、0,则ab0”是_命题 解析:两个命题的条件和结论交换了,满足互逆命题的概念 答案:互逆,4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假 (1)菱形的对角线互相垂直; (2)等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧 解析:(1)逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直,则它是菱形,是假命题 否命题:若一个四边形不是菱形,则它的对角线不互相垂直,是假命题 逆否命题:若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个四边形不是菱形,是真命题,(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高,是真命题 否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命题 逆否命题:若两个三
6、角形不全等,则这两个三角形不等高,是假命题,(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,是假命题 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧,是假命题 逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.,合作探究 课堂互动,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)若q1,则方程x22xq0有实根; (2)若ab0,则a0; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形 思路点拨:,四种命题的概念,(1)逆命题:若方程x22xq0有实根,则q1. 否命题:若q1,则方程x22xq0无实根 逆否命题:若方程x22xq0无
7、实根,则q1. (2)逆命题:若a0,则ab0. 否命题:若ab0,则a0. 逆否命题:若a0,则ab0.,(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,(1)逆命题的写法 给出一个命题,将它作为原命题并交换其条件和结论,即得原命题的逆命题 (2)写原命题的否命题的步骤 找出原命题的条件和结论; 对原命题的条件和结论进行否定,作为新命题的条件和结论; 所得命题即为原命题的否命题,(3)逆否命题的两种写法 先写出原命题的逆命题,再写出逆命题的否命题,即得逆否命题 先写出
8、原命题的否命题,再写出否命题的逆命题,即得逆否命题,1写出下列原命题的其他三种命题: (1)在ABC中,若ab,则AB; (2)正偶数不是素数 解析:(1)逆命题:在ABC中,若AB,则ab; 否命题:在ABC中,若ab,则AB; 逆否命题:在ABC中,若AB,则ab. (2)逆命题:若一个数不是素数,则它一定是正偶数; 否命题:若一个数不是正偶数,则它一定是素数; 逆否命题:若一个数是素数,则它一定不是正偶数,下列命题中正确的是() “若x2y20,则x,y不全为零”的否命题; “正三角形都相似”的逆命题; “若m0,则x2xm0有实根”的逆否命题; “若b3,则b29”的逆否命题 AB C
9、D,四种命题真假的判断,解析:原命题的否命题为“若x2y20,则x,y全为零”真命题 原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”假命题,“若b3,则b29”是真命题, 其逆否命题是真命题 答案:B,判断四种命题的真假,首先要正确写出四种命题,如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性先判断等价命题的真假即可,(2)有下列四个命题: “已知函数yf(x),xD,若D关于原点对称,则函数yf(x),xD为奇函数”的逆命题; “对应边平行的两角相等”的否命题; “若a0,则方程axb0有实根”的逆否命题; “若ABB,则BA”的逆否命题 其中的真命题是()
10、 AB CD,答案:(1)D(2)C,证明:已知函数f(x)是(,)上的增函数,a,bR,若f(a)f(b)f(a)f(b),则ab0.,逆否命题的应用,证明:证法一:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(,)上的增函数,a,bR, 若ab0,则f(a)f(b)f(a)f(b)”4分 若ab0,则ab,ba,6分 又f(x)在(,)上是增函数, f(a)f(b),f(b)f(a).10分 f(a)f(b)f(a)f(b), 即逆否命题为真命题.11分 原命题为真命题.12分,证法二:假设ab0, 则ab,ba,2分 又f(x)在(,)上是增函数, f(a)f(b),f(b)f(a).6分 f
11、(a)f(b)f(a)f(b).9分 这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾.11分 因此假设不成立,故ab0.12分,由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题,3判断命题“如果m0,则x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假 解析:方法一:m0, 12m0,12m40. 方程x22x3m0的判别式12m40. 原命题“如果m0,则x22x3m0有实数根”为真命题又因原命题与它的逆否命题等价,所以原命题“如果m0,则x22x3m0有实数根”的逆否
12、命题也为真命题,用“若p,则q”的形式写出(1)的原命题,(2)的否命题 (1)负数的平方是正数 (2)正方形的四条边相等 【错解】(1)原命题:若一个数是负数的平方,则这个数是正数 (2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边都不相等,【错因】(1)分不清命题的条件和结论在原命题中,把“负数的平方”这个结论当成条件一个数是负数,这是所给实数的属性,应该是条件,平方运算后所得数的属性应该是结论 (2)对于(2)的否命题,把“四条边相等”的否定误写成了“四条边都不相等”实际上“四条边相等”是“四条边都相等”的意思它的否定应该是“四条边不都相等” 【正解】(1)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数 (2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不都相等,