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1、Y 769619梗旦大学博士学位论文鞍点问题的迭代方法院 系(所)： 数学研究所专 韭：姓 名：指导教师：完成霸期：计算数学曹艳华曹志浩教授2005年4月15鑫求爱参爹、尽席岛息纺垒又公毒。学棱代玛：学 母：10246021018037鞍点问题的迭代方法摘 要本文研究鞍点阕题懿遮代算法，这类闻题广泛移在于渡俸力学闻题、带有隈铡条牟静二次傀纯麓蘧、线缝弹毪力学鬻慈移电磁学鬻返等，鑫予这类闯题静系数矩阵通常是大烈稀疏的，因此研究这类问颞的快速迭代算法非常重要文章以Navierstokes方程、Oseen方程及Stokes方稷作为模型问蹶，介绍了带稳定化的混合有限元离散方法秘M。A，C格式豹有限差分
2、舞鼗方法，塞魏弓l出鞍点彩式懿方程缀。对这类方程组的求解，已经存在很多方法，其中包括赢按法、Uzawa类型算法、零空间方法及Krylov子空间方法本文回顾了已经存在的Uzawa类溅算法，为了加快收敛速度，针对对称和非对称鞍点问蹶，我们分别提出了新的不鞲确非线性Uzawa葵法，努糖了算法懿牧致瞧霾蘧，绘窭了定理嚣结论，莠应嚣餮壤滋窝蘧透露效蓉实验，结果焱明新方法收敛所需要的迭代次数比已有的Uzawa类懋方法要少的多论文在最后一章，将基于零空间的带残摄更新的PCG方法，推广到基于零空间的带残量更薪的疆条俸GMRES方法，扶蕊可以应用予求解；#对称鞍点闻题，给出了算法秘数繁突验，阕霹邈麓单讨论了Sh
3、ilders分瓣鞭条件方法技巧关键试：遗代法；Uzawa方法；Krylov子空闻；GMRES方法；CG方法；NavierStokes方程；Oseen方程；Stokes方程；鞍患阕遂Iterative MethOds for Saddle Point ProblemsAbstractThe present PhDdissertation is concerned with some algorithms which areused to solve saddle point problems。These problems arise in numerous applica-tions such
4、as fluid dynamics，constraint quadratic programming，linear elasticity,electromagnetics and other areas of applicationsSince the coefficient matrices ofthese problems usually are large and sparse，it is useful to consider some fast it-erative methodsIn this article，we take Navier-Stokes equationOsceen
5、equationand Stokes equation as the standard model problems and introduce two methodsto discrete them：the mixed finite element method 01一P0 with stabilization andthe finite difference MAC+，thus giving the symmetric and nonsymmetric saddlepoint problems+There are large variety of methods for solving t
6、hese Hnear systems。Among them we mention direct solvers，Uzawa type algorithms，Null-space meth-ods and Krylov subspace methodsIn this PhDdissertation州first review all theexisting Uzawa type algorithmsTo accelerate the convergence speed，we give twonew practical inexact nonlinear Uzawa methods，ie，one i
7、s for the symmetric saddlepoint problems and the other is for the nonsymmetric easeWe have also consideredthe convergence properties and given some theorems and conclusionsWe applythem to our model problems。Numerical experiments show that our new methodsneed much less iterates than the other previou
8、s Uzawa type methods for conver-genceFinally,we extend the PCG method with residual update strategy based onthe null space for large equality constrained quadratic programming problems andobtain several preconditioned GM麟methods with residual update strategy basedon the null spaceThus we can apply t
9、hem to solve the nonsymmetric saddle pointproblemsNumerical tests are given in the endKeywords：iterative mothed；Uzawa algorithm；Krylov subspace method；GMRES method；CG method；Navier-Stokes equation；Oseen equation；Stokes equa-tion；saddle point problem指导教师营志浩教授指导蠢、组成员：曹志浩教授苏伸锋副教授魏益民副教授薛军工教授第一章 前 言在流体力学
10、、带有限糕条孚鲍二次貔纯、电磁学、线性弹力学等应用领域中，经常需要求解一类惩题，帮鞍赢阕题铡魏，在求解Stokes方程(101)、Navier-Stokes方程(102)，Oseen方稷(103)叫?叫inQ (媳01)一V。嚣=0 l 、 -bAu十f扎-z札+fWV)札+Vp2，l innV牡=0 JV)珏十Vp=，1 r、一vu：o j1n及一些带隈涨条卡孛的二次优化rainq(x)_，Hx+cTTstAz=b(122)(1，03)(104)警闻题霹，葵中(101)，(10。2)蠢(10。3；零分剃滤足逮当黪逡器条律，逶豢郄娼结为求解一个大型稀疏的不定线性方程组【3】【4】，邵需要求解一
11、类鞍点闯磁因此，如何快遴有效的求解鞍点问题非常燕键，成为许彩学者研究的热点目前已缀存在很多方法求解鞍点问题，其中包搔：直接法、Krylov子空阅方法、零空霹方法程Uzawa类鏊憨葬法【l噩锈。众瑟震嬲，霉壹接浚求黎大登嚣藏线性方程组，有时是不现实的，因而，一般采用迭代方法求解。由于Krylov子懋间方法不会破坏系数矩阵的稀疏性，只需鼹重复的计算矩阵与向量的乘积，特别煅当系数矩阵是一个隐式函数过程时，这类方法非豢有效。但是如果不鼹逶当的选搔蘸条彳串，这类方法在求解时落会收敛强骥所以，出臻了许多这类方法豹预条伴方法71，8，1sl，191，【20，22，【23，【24，【25】，35，【3s，50
12、，【39，421，【48】，49，46等簿，如果预条件选取的好，那么算法会收敛的很快39】预条件的选择必须满照；ft)不爨显建魏量算量，鄯鞭条舞短蓐部分戆谤算璧魄较，l、；2)鲣褥算法鳇数教速度加快因戴，怎样选择预条件是一个葚#常困难的问题在这方瓣，许多学者做了大量的工作，各种预条件方法被提了出米，各种形式的预条件矩阵：块对角形式、块三角形式和限制预条件嫩阵等都先后被提出来f48】，49】提出甩预条件的共轭残量法零薅辩称酶鞍熹窝麓，霸条箨采溪方程蕴翡系数矩薄夔蹿凳凭缝藏懿辩凳矩阵或块对角瓶阵【7，f38通过对系数矩阵做分解，得到更接避系数矩阵的预条移。翔暴系数矩阵是对嚣戆，那么哭要遁姿选取颡条
13、孛鼗毒以使算法牧敛鲍瑟快，如果系数矩阵是非对称的，尤其当糍性系数较小时，许彩算法都收敛很慢针对这些僖琵，【2翟掇毽覆条俸懿QMR方法或GMRES42】方法求解辩类骰鬟条辞，【351用值域的方法分析了预条件的GMRES方法收敛的迭代次数与网格大小h无关。本文将不荐洋缍|薯论预条箨Krylov子空藤方法，廷在最君一章鬻筚：孛谂了基予Schilders分解【201的预条件方法。另外，5】中提出的Uzawa方法也是最经舆的迭代法，该方法鼓裙是为了解癸经济学中的二次优纯闯题，方法筒苹，貉于计算机实现，因此受到人们的关注但是这个方法的缺点就是它的每一步迭代都要精确的计算一个逆矩阵，这对于求解大型线性方程缀
14、来说几乎不可行为了克服这个困难，1ll，f22l，f12l提出了不精确的Uzawa方法，从瓣避免了求逆矩阵厨龄来的鼹难耀题【221讨论的是解稳定的对称鞍点问题的不精确Uzawa方法的收敛性， 【11】，12分别分橱了鼹稳定的对称积对称鞍点阗题瓣不穰礁Uzawa算法懿收敛性此后，【16】和17I，研究了用快速的非线性Uzawa算法求解稳定化的对称和非对黎鞍点隧题。本文将程这些蘩硝上绘出瑟戆快速非线悭Uzawa算法，蒡努糖凝的方法求解鞍点问题的收敛J陂数值实验裘明，新方法需要更少的迭代次数在文澜，261，泌瓯【4q嚣【嘲中，研究了零空鬻方法，Gould等警2】聚究了应蘑莲子零空间的预条件共轭梯度法
15、(PCG)求解(104)，利用求解法方程或者扩张的线性系统来计算投影到疆锈条件系数矩薛零空闻酌投影算子静办法，给甾基于筒纯系统静带残量更新的PCG遗代方法本文将这种方法和技巧加以推广，对于非对称的鞍煮问题，采用基于简化系统的带残鬣更新的预条件广义最小残激法(GMRES)来求解。论文在第二章给出模型阿趿和两种离散格式；不稳定的低阶混合协调有限元方法劳翅以稳定像稠有敷羞分懿M；A+G。格式。在煞三章中，璎变求绥对黎广义鞍点问题的Uzawa方法，给出了新的快速非线性Uzawa算法，分析了它的收敛性，并给出数篷实验终暴。在第滔掌孛，研究嚣对熬广义鞍点翔鼷鹃Uzawa方法，绘爨薮懿快速非线性Uzawa方
16、法，分析了它的收敛性问题，并给出数值实验结果第赢章对罄2懿方法释放巧送符推广，对菲辩称静鞍点闯麓，给掇残量麓薪羲条待GMP毽S方法，同时简单讨论了基于Schilders分解的预条件方法，并给出数德实验结果2第纛章 模型问题及网格离散论文涉及懿模型鳍鬏是：实空霹7铲中有雾巍竣上戆Navier-Stokes方程秘Stokes方稷。在这一章审，我稻给露两种方式进行阚格离散遥滋的方法；一稀是低阶混合有限元离散(国tPo)，另一种是MAC格式的有限藏分离散有限元离散方法包括高阶有限元离散和低阶有限元离散法这里我们采用低阶有限元离散法，它便予诗募视程彦安凝。蓬是缺患楚；宅不瀵怒LBB稳定熬条终，嚣泼我靛需要通过一定的方法使冀稳定化f45】在第二节中分绍MAC格式的有限差分离
