《18个圆锥曲线基础问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《18个圆锥曲线基础问题(23页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 十八个圆锥曲线基础问题1、设椭圆,其焦点在轴上,若直线到右焦点的距离,求椭圆的方程.解:先求的范围:由焦点在轴上,则:,即:;另外,所以;所以.求的值:焦点坐标:;则:,即:方程有两个解:(舍),和,故.确定椭圆方程:将,代入方程得:2、设椭圆的离心率,其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径),为两焦点,是上除长轴端点外的任一点,的角平分线交长轴于,求的取值范围.解:通径,即时的.当时代入方程得:,即:,故通径:,即: 由离心率,即:,即: 则: 联立解得:,则写出椭圆的方程: 求的角平分线的直线方程:由得过点的切线方程为:即:,其斜率为: 根据椭圆的切线定理,是过点的法线,其斜率为: 则的直线
2、方程为: 将代入上式得:即:,故: 求出的范围因为点是上除长轴端点外的任一点,故:,即:. 代入式得:.3、设椭圆的离心率,为两焦点,椭圆与轴的交点为,求三角形的面积解:先求的方程:将代入的方程得:,故:再由,即:,则:,的方程为: 求三角形的面积:的高,即;的底,即焦距;故:另外,是椭圆的焦点三角形,可以用椭圆的焦点三角形公式秒之. 4、如图,设椭圆,为长轴顶点,过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点,若,求解:本题由于直线过左焦点,所以采用以左焦点为原点的极坐标,可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为: 直线的方程为: 那么 ;代入得:,即 ,故 于是:;故 ,所以 5、设椭圆,其离心率,其通
3、径, 求椭圆的方程. 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求解:先求椭圆的方程:由离心率得:,则: 由通径得: 联立得:,故椭圆的方程为:两条焦直径都过焦点,所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为: 那么,设:,则:,代入方程式得:于是, 于是, 由式式得: 将,代入式得:6、设椭圆,左焦点为,在椭圆上任取三个不同点,使得,求:解:椭圆的参数:,故离心率,准焦距.采用极坐标,以左焦点为原点的极坐标方程为: ,即: 设,则,分别代入式得:,由于: 所以上三式相加得:故:7、如图所示,椭圆,过原点的两条直线交圆于,与的延长线相交于,与的延长线相交于,求所在
4、的直线方程.解:首先看一下原点和椭圆的位置关系将原点坐标代入得:小于0表明原点在椭圆内部.本题中,原点和直线是椭圆的一对极点和极线.这里先简单介绍一下极点和极线:过椭圆外一点向椭圆作的所有割线点的连线,相交于两点和,一个点在椭圆内(假设),一个点在椭圆外(假设). 这3个点、和构成特殊的三角形,称为自极三点形. 其中,点和直线是一对极点和极线;点和直线是一对极点和极线;点和直线是一对极点和极线.如果将极点的坐标,等效代入椭圆方程,得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题,将原点坐标做等效代入椭圆方程,就得到所在的直线方程.将极点坐标做等效代入椭圆方程得到极线方程:故:代入,后
5、得到:即:,即: 所以所在的直线方程是:8、设椭圆,过右焦点的直线交于两点,为中点.若的斜率为:,求椭圆的方程;若直线交于两点,与相交于,求点坐标.解:由于右焦点在直线上,将右焦点的坐标代入,得:,故:,联立椭圆和直线得到交点的坐标:消元法消去得:即:整理得: 由于为中点,所以,代进式由韦达定理得: 由此得到的斜率为:已知,故:,于是 所以椭圆的方程为:直线经过点,直线也经过点,故点必在关于椭圆以为极点的极线上.代入极线方程得:;即:由于与关于轴对称,根据对称性,所以点的坐标为:9、设椭圆的长轴端点为,与轴平行的直线交椭圆于两点,的延长线相交于点,求点的轨迹.解:设,由得:故: 由得:,故:
6、由式得: 又,两点在椭圆上,满足:即:,即:代入式得:即:,故:即:,这就是点的轨迹方程.10、已知抛物线,为的焦点,为上任一点,为过点的切线,求证:与的夹角等于与轴的夹角.证明:为抛物线的焦半径,设其倾角为,我们看上半轴即部分,下半轴与上半轴对称。,则:抛物线两边对求导:,即故点的切线为:即:,与的夹角为,而就是与轴的夹角.11、已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为,在上,过作抛物线的两条切线、,其中、为切点.当的坐标为时,求的直线方程;当在上移动时,求的最小值.解:先求抛物线的方程由焦点到直线的距离为得:,即:抛物线的方程为: 下面求的直线方程:的直线方程与点是抛物线的一对极线和极
7、点,故用极线方程秒之.的直线方程:将的坐标值代入得:,即: 点到准线的距离,点到准线的距离. 即: 由于,可将作为极线,来求其极点.极点关于抛物线的极线为:,即:与对比得:,当在上移动时,其极线必过点. 设的直线的斜率为,则的直线方程为:即: 点为与的交点.将代入式得:即:即: 方程的两个根就是和.由韦达定理得:,代入式得:故的最小值是.12、过抛物线的焦点作斜率分别为两条不同弦和,以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为,若圆心到距离的最小值为,求抛物线方程.解:抛物线的焦点.设直线的方程为:,直线的方程为:则:点的坐标满足抛物线方程和直线的方程即: 于是:故: 是圆的直径,圆心是
8、,则由韦达定理得:, 圆的直径平方为: 将式代入上式得:故圆的直径为: 圆的半径为:圆的方程为: 同理,圆的方程为: 由-得:将,代入上式化简得: 这就是两圆的公共弦的直线方程.由圆心到距离为:将, 代入上式,并由圆心到距离的最小值为得: 故:,则抛物线方程为:.13、已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为8,求动圆圆心的轨迹方程.解:弦和的垂直平分线相交于圆心.设:,则:,的垂直平分线方程为: 的斜率为:则的垂直平分线的斜率为:的中点为:,则的垂直平分线方程为: 联立,消去得:即:,即:,即:这就是求动圆圆心的轨迹方程,是条抛物线.14、如图已知,在抛物线的焦点为,其准线与轴的交点为. 过原
9、点的圆其圆心在抛物线上,与抛物线的准线交于不同的两点,若,求圆的半径.解:抛物线的准线方程:设圆其圆心坐标为:,因圆心在抛物线上,则:又圆过原点,则: 故圆得方程为:即:即:对于在准线上的两点,其,代入上式得:即: 方程的两个解就是的纵坐标. 由韦达定理得:, ;,;代入得:将结果代入式得:,即:.将结果代入式得:故:圆的半径为: 15、如图,抛物线,抛物线,点在抛物线上,过作的两条切线和,当时,切线的斜率为.求:所在的直线方程;当点在抛物线上运动时,求中点的轨迹方程.解:先求点的坐标:抛物线的导函数为:,即:抛物线在点的斜率就是切线的斜率为,故:,即:再求所在的直线方程:点与所在的直线是关于
10、的一对极点和极线,故:所在的直线方程为:即: 求的坐标:因为方程过点,故: ;当时,确定所在的直线方程:将代入式得:这就是所在的直线方程.设的中点为,则:,将代入抛物线方程得:,即:由韦达定理得:或者:. 这就是中点的轨迹方程.16、16.已知抛物线,焦弦被分为、两段,求:解:抛物线的焦点,即:,以焦点为原点建极坐标,则抛物线的极坐标方程为:设:,则:于是: 故:17、 17.如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,分别将线段和等分成十等分,分点分别记为和,连接,过作轴的垂线与交于点. 求:点的轨迹方程;求:过点的切线方程。解:因为,所以的直线方程为:,即:所在的的垂线方程为:那
11、么过作轴的垂线与交于点,故:,则:,这就是点的轨迹方程. 点的坐标为:则该点的切线方程为:,即:18、 18.已知,双曲线,过右焦点的直线交于两点,以为直径的圆与的准线还有另外两个交点,与原点构成的三角形,求:的最小值.解:该双曲线的基本参数:,故:,焦点设过右焦点的直线方程为:,则:. 代入双曲线方程得:化简得: (时)即: 当时,直线方程为,与的准线的交点,不构成三角形.圆的方程:设圆的圆心坐标为:,两点为圆直径上的点,故由式得韦达定理得: 则: 圆直径的平方为: 故:即:故:,圆的半径为:.圆的方程为: 求点坐标:双曲线的准线方程为:对于圆,当时,圆此时的坐标就是点的坐标.故由得:,故: 求的最小值:只要求出的最小值,就可以得到的最小值.对进行分类讨论:,前面已说明;,与准线只有一个交点;,此时,.24