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1、 十八个圆锥曲线基础问题1、设椭圆，其焦点在轴上，若直线到右焦点的距离，求椭圆的方程.解：先求的范围：由焦点在轴上，则：，即：；另外，所以；所以.求的值：焦点坐标：；则：，即：方程有两个解：（舍），和，故.确定椭圆方程：将，代入方程得：2、设椭圆的离心率，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)，为两焦点，是上除长轴端点外的任一点，的角平分线交长轴于，求的取值范围.解：通径，即时的.当时代入方程得：，即：，故通径：，即： 由离心率，即：，即： 则： 联立解得：，则写出椭圆的方程： 求的角平分线的直线方程：由得过点的切线方程为：即：，其斜率为： 根据椭圆的切线定理，是过点的法线，其斜率为： 则的直线
2、方程为： 将代入上式得：即：，故： 求出的范围因为点是上除长轴端点外的任一点，故：，即：. 代入式得：.3、设椭圆的离心率，为两焦点，椭圆与轴的交点为，求三角形的面积解：先求的方程：将代入的方程得：，故：再由，即：，则：，的方程为： 求三角形的面积：的高，即；的底，即焦距；故：另外，是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之. 4、如图，设椭圆，为长轴顶点，过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点，若，求解：本题由于直线过左焦点，所以采用以左焦点为原点的极坐标，可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为： 直线的方程为： 那么 ；代入得：，即 ，故 于是：；故 ，所以 5、设椭圆，其离心率，其通
3、径， 求椭圆的方程. 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求解：先求椭圆的方程：由离心率得：，则： 由通径得： 联立得：，故椭圆的方程为：两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为： 那么，设：，则：，代入方程式得：于是， 于是， 由式式得： 将，代入式得：6、设椭圆，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点，使得，求：解：椭圆的参数：，故离心率，准焦距.采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为： ，即： 设，则，分别代入式得：，由于： 所以上三式相加得：故：7、如图所示，椭圆，过原点的两条直线交圆于，与的延长线相交于，与的延长线相交于，求所在
4、的直线方程.解：首先看一下原点和椭圆的位置关系将原点坐标代入得：小于0表明原点在椭圆内部.本题中，原点和直线是椭圆的一对极点和极线.这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点向椭圆作的所有割线点的连线，相交于两点和，一个点在椭圆内(假设)，一个点在椭圆外(假设). 这3个点、和构成特殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点和直线是一对极点和极线；点和直线是一对极点和极线；点和直线是一对极点和极线.如果将极点的坐标，等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到所在的直线方程.将极点坐标做等效代入椭圆方程得到极线方程：故：代入，后
5、得到：即：，即： 所以所在的直线方程是：8、设椭圆，过右焦点的直线交于两点，为中点.若的斜率为：，求椭圆的方程；若直线交于两点，与相交于，求点坐标.解：由于右焦点在直线上，将右焦点的坐标代入，得：，故：，联立椭圆和直线得到交点的坐标：消元法消去得：即：整理得： 由于为中点，所以，代进式由韦达定理得： 由此得到的斜率为：已知，故：，于是 所以椭圆的方程为：直线经过点，直线也经过点，故点必在关于椭圆以为极点的极线上.代入极线方程得：；即：由于与关于轴对称，根据对称性，所以点的坐标为：9、设椭圆的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于两点，的延长线相交于点，求点的轨迹.解：设，由得：故： 由得：，故：
6、由式得： 又，两点在椭圆上，满足：即：，即：代入式得：即：，故：即：，这就是点的轨迹方程.10、已知抛物线，为的焦点，为上任一点，为过点的切线，求证：与的夹角等于与轴的夹角.证明：为抛物线的焦半径，设其倾角为，我们看上半轴即部分，下半轴与上半轴对称。，则：抛物线两边对求导：，即故点的切线为：即：，与的夹角为，而就是与轴的夹角.11、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，在上，过作抛物线的两条切线、，其中、为切点.当的坐标为时，求的直线方程；当在上移动时，求的最小值.解：先求抛物线的方程由焦点到直线的距离为得：，即：抛物线的方程为： 下面求的直线方程：的直线方程与点是抛物线的一对极线和极
7、点，故用极线方程秒之.的直线方程：将的坐标值代入得：，即： 点到准线的距离，点到准线的距离. 即： 由于，可将作为极线，来求其极点.极点关于抛物线的极线为：，即：与对比得：，当在上移动时，其极线必过点. 设的直线的斜率为，则的直线方程为：即： 点为与的交点.将代入式得：即：即： 方程的两个根就是和.由韦达定理得：，代入式得：故的最小值是.12、过抛物线的焦点作斜率分别为两条不同弦和，以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为，若圆心到距离的最小值为，求抛物线方程.解：抛物线的焦点.设直线的方程为：，直线的方程为：则：点的坐标满足抛物线方程和直线的方程即： 于是：故： 是圆的直径，圆心是
8、，则由韦达定理得：， 圆的直径平方为： 将式代入上式得:故圆的直径为： 圆的半径为：圆的方程为： 同理，圆的方程为： 由-得：将，代入上式化简得： 这就是两圆的公共弦的直线方程.由圆心到距离为：将， 代入上式，并由圆心到距离的最小值为得： 故：，则抛物线方程为：.13、已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹方程.解：弦和的垂直平分线相交于圆心.设：，则：，的垂直平分线方程为： 的斜率为：则的垂直平分线的斜率为：的中点为：，则的垂直平分线方程为： 联立，消去得：即：，即：，即：这就是求动圆圆心的轨迹方程，是条抛物线.14、如图已知，在抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为. 过原
9、点的圆其圆心在抛物线上，与抛物线的准线交于不同的两点，若，求圆的半径.解：抛物线的准线方程：设圆其圆心坐标为：，因圆心在抛物线上，则：又圆过原点，则： 故圆得方程为：即：即：对于在准线上的两点，其，代入上式得：即： 方程的两个解就是的纵坐标. 由韦达定理得：， ；，；代入得：将结果代入式得：，即：.将结果代入式得：故：圆的半径为： 15、如图，抛物线，抛物线，点在抛物线上，过作的两条切线和，当时，切线的斜率为.求：所在的直线方程；当点在抛物线上运动时，求中点的轨迹方程.解：先求点的坐标：抛物线的导函数为：，即：抛物线在点的斜率就是切线的斜率为，故：，即：再求所在的直线方程：点与所在的直线是关于
10、的一对极点和极线，故：所在的直线方程为：即： 求的坐标：因为方程过点，故： ；当时，确定所在的直线方程：将代入式得：这就是所在的直线方程.设的中点为，则：，将代入抛物线方程得：，即：由韦达定理得：或者：. 这就是中点的轨迹方程.16、16.已知抛物线，焦弦被分为、两段，求：解：抛物线的焦点，即：，以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：设：，则：于是： 故：17、 17.如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和等分成十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点. 求：点的轨迹方程；求：过点的切线方程。解：因为，所以的直线方程为：，即：所在的的垂线方程为：那
11、么过作轴的垂线与交于点，故：，则：，这就是点的轨迹方程. 点的坐标为：则该点的切线方程为：，即：18、 18.已知，双曲线，过右焦点的直线交于两点，以为直径的圆与的准线还有另外两个交点，与原点构成的三角形，求：的最小值.解：该双曲线的基本参数：，故：，焦点设过右焦点的直线方程为：，则：. 代入双曲线方程得：化简得： （时）即： 当时，直线方程为，与的准线的交点，不构成三角形.圆的方程：设圆的圆心坐标为：，两点为圆直径上的点，故由式得韦达定理得： 则： 圆直径的平方为： 故：即：故：，圆的半径为：.圆的方程为： 求点坐标：双曲线的准线方程为：对于圆，当时，圆此时的坐标就是点的坐标.故由得：，故： 求的最小值：只要求出的最小值，就可以得到的最小值.对进行分类讨论：，前面已说明；，与准线只有一个交点；，此时，.24
