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1、第4讲 参数曲线曲面基础,提出问题,由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。,概述,工业产品的几何形状： 初等解析曲面 如：平面、圆柱面、圆锥面等，可用画法几何与机械制图处理所包含的图形信息。以复杂方式自由变化的曲线曲面 由所谓的自由曲线曲面组成，如：飞机、汽车、船舶的外形零件等，用单纯的画法几何与机械制图是不能表达清楚的。,对复杂方式自由变化的曲线曲面的表示：模线样板法：以模拟量传递形状信息计算机辅助几何设计CAGD（Computer Aided Geometric Design）：用数学
2、方法表示，以数值量传递形状信息。,概 述,CAGD中，依据定义形状的几何信息可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型，并在计算机上通过执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息。其间，通过分析与综合就可了解所定义形状具有的局部和整体的几何特征。实际上，在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，即需建立既适合于计算机处理，又有效地满足形状表示与几何设计要求同时还便于进行形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。,8.1 曲线曲面基础,8.1.1 曲线曲面数学描述的发展弗格森双三次曲面片 首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，最早引入参数三次曲线，为自由曲线
3、曲面数学描述提供了一种标准形式。孔斯双三次曲面片 一个具有一般性的曲面描述方法；目前孔斯双三次曲面片得到广泛应用；同前者一样都存在形状控制与连接的问题。样条方法 提供了解决连接问题的一种技术。在构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线、曲面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，曲线、曲面的形状难以预测。,8.1.1 曲线曲面数学描述的发展,Bezier方法 以逼近为基础构造曲线、曲面，由控制多边形定义曲线，通过移动控制点就可修改曲线形状。仍存在连接问题和局部修改问题。B样条方法 克服了前者的不足，解决了局部控制问题，在参数连续基础上解决了连接问题。,非均匀有理B样条方法 用于曲线曲面描述的最为
4、流行的方法,8.1.1 曲线曲面数学描述的发展,1.唯一性:由给定的有限信息决定唯一的形状。,2.几何不变性:由给定的有限信息所确定的形状，不随所取得坐标系不同而改变。,3.易于定界：几何形状数学描述易于定界.,4.统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况.,5.易于实现光滑连接:在表达复杂形状时，经常需要将曲线段进行连接，或曲面片进行连接。,6.几何直观：几何意义明显。,8.1.2 曲线曲面的表示要求,非参数表示显式表示隐式表示,直线：y=kx+b,8.1.3 曲线曲面的表示,参数方程表示形式,解析几何中，空间曲线上一点的每个坐标可表示为某个参数的函数。,用参数形式来表示圆：,0=u=90o
5、,或：,8.1.3 曲线曲面的表示,对于空间中任意点p：,三个坐标分量组成了曲线上该点的位置矢量，曲线可表示为参数t的矢量函数：,每个坐标分量都是t的标量函数,这种矢量函数表示等价于如下的笛卡尔分量表示：,i，j，k为单位矢量,8.1.3 曲线曲面的表示,对于矢量函数表示，给定一个参数t值，就得到曲线上一个坐标。由于我们一般只对曲线的一段感兴趣，将参数限制在a,b内，参数在a,b内连续变化就得到了曲线。,为了方便，可用,将参数规格化到0,1,8.1.3 曲线曲面的表示,8.1.3 曲线曲面的表示,参数表示方法的优点： 1点动成线2可以选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式3斜率,4t0,1
6、，使其相应的几何分量是有界的5可对参数方程直接进行仿射和投影变换6参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来,同一条曲线，可以用不同的参数形式表达,例如,和,弧长是曲线的不变量，以弧长为参数来研究曲线的内在性质有重要意义。,设已知曲线的矢量方程为：,根据弧长微分公式：,8.1.4 曲线的自然参数方程,可见，弧长是参数t的单调增函数，故其反函数t(s)存在。,一般参数方程就化为了自然参数方程,1.3 曲线的自然参数方程,同一条曲线，可以用不同的参数形式表达,例如,和,弧长是曲线的不变量，以弧长为参数来研究曲线的内在性质有重要意义。,设已知曲线的矢量方程为：,根据弧长微分公式：,1.3 曲线的自然
7、参数方程,可见，弧长是参数t的单调增函数，故其反函数t(s)存在。,一般参数方程就化为了自然参数方程,1.3 曲线的自然参数方程,1.4 曲线论的基本公式,首先建立曲线上某点的局部坐标系基本三棱形（Frenet标架）,对于自然参数方程,曲率矢,单位主法矢,曲率,单位副法矢,曲率表示曲线在某点处的切矢方向对弧长的导数,1.5 曲率、挠率的意义及计算,1.5 曲率、挠率的意义及计算,挠率表示曲线在某点处的副法矢方向对弧长的导数,1. 曲面的等参线、偏导矢、混合偏导矢,2. 曲面的法矢,同样可以定义混合偏导矢、高阶偏导矢：,1.7 曲面上的曲线及其切矢和曲面上的法矢,边界、角点、跨界导矢,1. 曲面
8、的法曲率,1.8* 曲面的曲率,过曲面上一点p，并包含曲面在该点的法矢n的平面PL与曲面的交线称为法截线。该平面法截线在p点的曲率称为曲面相对于PL的法曲率。,以n为轴转动平面PL，则相应的法曲率随之变化 。,2.主曲率、高斯曲率、平均曲率,法曲率的极值k1、 k2,主曲率,高斯曲率,平均曲率,1.8* 曲面的曲率,1.8* 曲面的曲率,Colored Central Profile,6. 曲面上点的类型划分,Besl通过高斯曲率K和平均曲率M的组合，将点附近的曲面形状分为八种基本特征类型,三角网格模型,曲率类型标识,区域分割,1.8* 曲面的曲率,悬链面的高斯曲率,手动工具的平均曲率图,1.
9、8* 曲面的曲率,在自由曲线面的描述中常用的三种点控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点插值点：为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入的一系列点,8.1.4 插值和逼近样条,曲线曲面的插值：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。,8.1.4 插值和逼近样条,曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列,8.1.4 插值和逼近样条,1.10 参数化,过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条，这是因为对应地参数t
10、, 在0, 1区间中有无数种取法。即P0、P1和P2可对应不同的参数值，比如， 或 其中每个参数值称为节点(knot)。,对于一条插值曲线，型值点 与其参数域 内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。,参数化常用方法有：均匀参数化(等距参数化)节点在参数轴上呈等距分布， +正常数。累加弦长参数化这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。,向心参数化法向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适
11、用于非均匀型值点分布。,8.1.5 连续性条件,假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：,参数连续性几何连续性,当两条参数曲线段首尾相连构成一条曲线时，如何保证各曲线段在连接处具有合乎要求的连续性是一个重要问题。,参数连续性称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足记号,传统的、严格的连续性,8.1.5 连续性条件,0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即,1. 参数连续性,1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：,1. 参数连续性,2阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处
12、具有相同的一阶和二阶导数。,1. 参数连续性,几何连续性只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，而不必完全相等记号直观的、易于交互控制的连续性,2.几何连续性,0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：,1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,2.几何连续性,8.1.6 样条描述,n次样条参数多项式曲线的矩阵：,T为n+1个幂次形式的基函数组成的矢量,G是包含样条形式的几何约束条件在内的矩阵，它包含了控制点的坐标值和其他已被指定的几何约束。,MS是基矩阵，它将几何
13、约束转化成多项式系数且提供了样条曲线的特征,8.1.6 样条描述,8.2 三次样条,给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：,三次多项式方程式能表示曲线段的端点通过特定点且在连接处保持位置和斜率的连续性的最低阶次的方程。,系数确定了一条参数曲线的形状和位置,t为参数，t=0对应起点， t=1对应终点,关键：确定系数,8.2.1 自然三次样条,定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。由于有n+1个型值点需拟合，这样共有n个曲线段方程，于是有4n个多项式系数需要
14、决定。对于每一个内点Pi两侧的两条曲线段在Pi处有相同的一阶和二阶导数，且两条线均通过Pi点，这就得到了4(n-1)个方程。,特点：1.只适用于型值点分布比较均匀的场合 2.不能“局部控制”,由P0点和Pn点处可得到2个方程。另外两个条件？方法1：在P0点和Pn点处设其二阶导数为0。方法2：增加2个隐含的型值点：P-1点和Pn+1点。方法3：给出P0点和Pn点处的一阶导数。方法4：第一段曲线和最后一段曲线为抛物线，即P0P1且Pn-1Pn,8.2.1 自然三次样条,8.2.2 三次Hermite样条,定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：,其中： Rk和Rk+1是型值点Pk和Pk+1处的导数值,推导：,对p(t)求导:,将边界条件带入前式（上一页）:,C=?,Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。,设起点矢量为P0，终点矢量为P1 ，与之对应的切矢量分别是R0和R1 ，则三次Hermite样条曲线的方程为：,通常将TMk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：,带入前式：,样基函数随数t变化的曲线形状,
