直线的倾斜角和斜率--教案二：第二课时

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1、 520 课件网 http:/ 专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)教学时间第二课时课 题7.1.2 直线的倾斜角和斜率(二)教学目标(一)教学知识点1.斜率公式2.斜率的简单应用.(二)能力训练要求1.熟记过两点的直线的斜率公式的形式特点及适用范围2.熟练掌握斜率公式3.了解斜率的简单应用4.进一步了解向量作为数学工具在学习数学中的特殊作用.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与一定条件下的相互转化2.学会用联系的观点看问题.教学重点斜率公式教学难点斜率公式的应用教学方法启发式本节课首先通过适当的课堂练习，使学生熟悉斜率公式的直接应用，把握斜率公式的形式特点，启发学生能根据斜率公

2、式的形式特点构造斜率公式，并注意数形结合解题思想的应用，并利用斜率证明有关三点共线的证明问题.教具准备投影片两张第一张：斜率公式的形式特点及适用范围(记作7.1.2 A)第二张：本节例题(记作7.1.2 B)教学过程.课题导入师上一节课，我们学习了直线的倾斜角和斜率，并推导了过已知两点的斜率公式，这一节，我们将进一步熟悉斜率公式并掌握其应用.下面，请大家尝试给出斜率公式的形式特点.生(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；(2)斜率公式表明，直线对于 x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角；(3)斜率公式中，当 x

3、1 x2时不适用，此时直线和 x 轴垂直，直线的倾斜角 等于90.师这位同学回答得很好，大家要明确，斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且要能够达到灵活运用的程度.这节课，我们将以例题讲评和课堂训练为主展开本节的学习活动. 520 课件网 http:/ 专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载).讲授新课例 3求经过 A(2，0)， B（5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.分析：此题为斜率公式的直接应用，意在使学生逐步熟悉斜率公式.解： k 1 即 a 1)(500 10 135因此，这条直线的斜率为1，倾斜角是 135.评述：此题在强调表达方面应向学生指出说理的充分性，比如在指出倾

4、斜角的变化范围后，才能得到相应的倾斜角.例 4直线 l 过点 A(m，2） ， B（3，） ，求 l 的斜率与倾斜角.分析：此题在例 3 的基础上将点 A 坐标中的横坐标换为字母 m，意在训练学生的分类讨论的意识，同时进一步熟悉斜率公式的应用.解：(1)先考虑此直线斜率不存在的情形，此时 m3， l 的倾斜角为 ；2(2)若斜率存在，设此直线斜率为 k，倾斜角为 .此时， m3， ktan m324当 m3 时， k0，倾斜角 ar ctan 32当 m3 时， k0，倾斜角 ar ctan m评述：在分类讨论时，应要求学生注意分类的合理性与全面性，特别地，对于tan 0 的情形，应注意反三角

5、形式的正确表示.例 5如果三点 A（5，1） ， B（ a，3） ， C（，2）在同一直线上，确定常数 a 的值.分析：此题属于斜率的应用，根据在同一直线上，任意两点的斜率相等，可以先表示出过 A、 B 的直线斜率，然后表示出过 A、 C 两点的直线斜率，最后根据两斜率相等建立方程，达到求解 a 的目的.解：直线 AB 的斜率kAB 5213直线 AC 的斜率kAC 94 A、 B、 C 三点在同一直线上， kAB kAC ，5 a1， a1352a评述：此题的解答方法可启示学生，根据斜率相等，可以证明有关三点共线的问题.让学生注意加以总结. 课堂练习课本 P37练习3.求经过下列每两个点的直

6、线的斜率和倾斜角： 520 课件网 http:/ 专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)(1)C（10，） ， D（，） ；(2)P（0，0）, Q（1， ） ；3(3)M（ ， ） ， N（ ， ）.32解：(1) k 2,6410)(8 ar ctan26326;(2)k ， 120；3(3)k 1， 5.)(24.已知 a、 b、 c 是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A（ a， c） ， B（ b， c） ；(2)C（ a， b） ， D（ a， c） ；(3)P（ b， b c） ， Q（ a， c a）.解：(1) A、 B 两点的纵坐标相同，故直线 AB

7、 与 x 轴平行，倾斜角为 0；(2)C、 D 两点的横坐标相同，故直线 CD 与 x 轴垂直，倾斜角为 90；(3) k 1， 5.)(5.已知三点 A、 B、 C，且直线 AB、 AC 的斜率相同，求证这三点在同一条直线上.证明：由 kAB kAC，可知 AB 的倾斜角与 AC 的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边 AB 与 AC 重合.因此 A、 B、 C 三点共线.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知两点坐标求斜率的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线.课后作业（一）课本 P37习题 7.13.已知直线斜率的绝对值等于 1，求此直线的倾斜角.

8、解：由题意，可得tan 1tan 1 或1.0 10， 5或 135.4.四边形 ABCD 的四个顶点是 A（2，3） ， B（1，1） ，C（1，2） ， D（2，2） ，求四条边所在的直线的斜率和倾斜角.解： kAB ，ar ctan755)(3直线 AB 的斜率为 4，倾斜角为 755.kBC 21)( 520 课件网 http:/ 专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)arctan 26321直线 BC 的斜率为 ，倾斜角为 263.kCD ，)1(2arctan（）102直线 CD 的斜率为，倾斜角为 102.kDA ，4)2(3arctan 12直线 DA 的斜率为 ，倾斜角为

9、12.45.(1)当且仅当 m 为何值时，经过两点 A( m，6） ，B（1，3 m）的直线的斜率是 12?(2)当且仅当 m 为何值时，经过两点 A(m，2)， B（ m，2 m1）的直线的倾斜角是60？解：(1) k 13)(6当 k12 时， 12m3 m61212 m9 m1， m2.（2） k 23)(1tan60 .3 ，32 m2 m3 m .43（二）1.预习内容： P3392.预习提纲：（1）试总结点斜式与斜截式直线方程的特点.（2）直线方程的点斜式与斜截式有何联系?（3）试说出直线方程的点斜式与斜截式的适用范围.板书设计7.1.2 直线的倾斜角和斜率 520 课件网 htt

10、p:/ 专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)1.斜率公式的 2.例 3 3.学生练习形式特点及适 例 4 练习 1用范围 例 5 练习 2练习 3备课资料一、参考例题例 1(1993 年全国文)若直线 ax by c0，在第一、二、三象限，则( )A.ab0， bc0 B.ab0， bc0C.ab0， bc0 D.ab0， bc0分析：此题考查学生对于直线中含有参数的情形的处理能力，应注意数形结合思想的应用.解：由题意，直线的斜率一定大于 0，所以 k 0，即baab0；并且根据直线的纵截距大于 0，可得： 0 即 bc0.故选cD.例 2(1995 年全国)在图中的直线 l1， l2，

11、l3的斜率分别为k1， k2， k3，则( )A.k1 k2 k3 B.k3 k1 k2C.k3 k2 k1 D.k1 k3 k2分析：此题属于图象信息题，要求学生根据倾斜角的大小与斜率的正负来比较 k1， k2， k3的大小关系.解：由图可知直线 l1的倾斜角为钝角，故 k10，直线 l2， l3的倾斜角为锐角，故k2， k30，又直线 l2的倾斜角大于 l3的倾斜角，故 k2 k3.故选 D.例 3(1996 年上海高考试题)过点(，0)和点(0，3)的直线的倾斜角为( )A.arctan B. ar ctan4 4C.arctan（ ） D. ar ctan（ ）3分析：此题中直线的斜率

12、可由斜率公式直接求得，由于所得结果不是特殊值，故在用反正切函数表示时，应注意倾斜角的取值范围.若 tan a（ a0） ，则 ar ctan ；若tan a（ a0） ，则 ar ca .解：过点(4，0)和点(0，3)的直线的斜率 k ，即 tan 0.4343故 是钝角. ar ctan .43故选 B.例 4(1997 年高考应用题)甲、乙两地相距 s 千米，汽车从甲地，匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米小时)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a元. 520 课件网 http:/ 专

13、业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)(1)把全部运输成本 y(元)表示为速度 v(千米小时)的函数，并指出这个函数的定义域.(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?解：(1) y s（ bv） ， v（0， ca(2)据1998 年高考试题分析知：很多考生在求函数 y s（ bv）取得最小值时，va利用基本不等式，由于忽略了函数的定义域，根据 s（ bv）2 s ，得出当且仅当b bv，即 v 时，全程运输成本最小的结论，结果漏掉了另外一种情况.如果运用斜aba率求解，可避免漏解.请看：记 k y 0)(22vasvs故求此函数的最值可转化为求一定点 A（0， as）与动点 B（

14、 v， bsv2）构成的直线的斜率的最值.动点 B 在抛物线 y b x2， x（0， c）上运动，其中点B（ c， bsc2）.如图所示：当动点 B 在抛物线弧 OB(不包括 B点)上时，过定点 A 且与抛物线弧相切的切线斜率即所求函数的最小值.设直线 AB 的方程为： y a kx联立 2bsxyk消去 y 得 b x2 kx as0(*)由 k2 abs20 得 k2 s 或 k2 s (舍去)，将 k2 s 代入(*)ababab式得 x .换句话说，当速度 v 时，运输成本 y 的最小值为 2s .ba当点 B 在点 B时， kAB的值只有一个，显然就是所求函数的最小值.此时， kAB bc）.cscs(0)(2也就是说，当 v c 时，运输成本 y 的最小值为 s（ bc）. ca二、直线的斜率在解题中的应用1.证明不等式例 1已知 a、 b、 m *，且 a b， 520 课件网 http:/