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1、直线、平面、简单几何体 1一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 若 是平面 外一点，则下列命题正确的是（A）过 只能作一条直线与平面 相交 （B ）过 可作无数条直线与平面垂直（C）过 只能作一条直线与平面 平行 （D）过 可作无数条直线与平面平行2在空间四边形 中， 、 、 、 上分别取 、 、 、 四点，如果 、 交于一点 ，则（ ）A 一定在直线 上 B 一定在直线 上C 在直线 或 上 D 既不在直线 上，也不在 上3如图 S 为正三角形所在平面 ABC 外一点，且 SASB SCAB，E、F 分别为 SC、 AB 中点，则异面直线 EF 与 SA 所成
2、角为（ ）A90? B60? C45? D30?4下列说法正确的是（ ）A若直线 平行于平面 内的无数条直线，则B若直线 在平面 外，则C若直线 ， ，则D若直线 ， ，则直线 就平行于平面内的无数条直线5在下列条件中，可判断平面 与平面 平行的是（ ）A 、 都垂直于平面B 内存在不共线的三点到平面 的距离相等C 、 是 内两条直线，且 ，D 、 是两条异面直线，且 ， ， ，6 若 为一条直线， 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ； ，其中正确的命题有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当点 D 到平面 ABC 的
3、距离最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为 （ ）A90? B60? C45? D30?8PA、PB、PC 是从点 P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为 60?，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值是（ ）A B C D9正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、AB 的中点，则 EF 与对角面 A1C1CA 所成角的度数是（ ）A30? B45? C60? D150?10设 A、B、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（A）若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 （B）若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC
4、 是异面直线（C）若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC （D）若 AB=AC，DB=DC，则 ADBC11对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是（A）若 则 （B）若 则（C）若 则 （D）若 、 与 所成的角相等，则12给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题（本大题
5、共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13设 是直二面角， ， ， ，则 。14 、 、 是两两垂直且交于 O 点的三个平面， P 到平面 、 、 的距离分别是 2、3、6，则 。15 如图，在正三棱柱 中，AB=1。若二面角 的大小为 ，则点 到直线 AB 的距离为 。16已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角等于_三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分）17.如图，ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱。（I）求证：BD平面 ACC1A；（II）若二面角 C1-BD-C 的大小为 60，求异面直线 BC1与 AC 所成角的大小。18如图，在直三
6、棱柱 ABCA1B1C1 中，AA12， ， ，求证：平面 AB1C平面 BB1C；求点 B 到平面 AB1C 的距离。19. 如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1 折成直二面角，如图 2.（）证明：ACBO 1；（）求二面角 OACO 1 的大小.20如图，ABC 和DBC 所在平面互相垂直，且ABBCBD，ABCDBC120?，求：A、D 连线和平面 DBC 所成的角；二面角 ABDC 的正切值。21 如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱 。（1）证明 FO/平面
7、CDE；（2）设 ，证明 EO平面 CDF。22.（本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、 BC 的中点，（I）求证： 平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。参考答案一、选择题DBCDD CCCAC CB12提示：BD 1平面 AB1C，EF平面 AB1C二、填空题1360? 147 15 16. 。三、解答题17 解法一：（1）ABCD-A 1B1C1D1 是正四棱柱CC 1平面 ABCDBDCC 1ABCD 是正方形，BDAC又AC，CC 1 平面 ACC1A1，且 ACCC 1=C，B
8、D平面 ACC1A1（II）设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O。CC 1平面 ABCD、BDAC。BDC 1OC 1OC 是二面角 C1-BD-C 的平面角C 1OC=60连接 A1BA 1C1AC A1C1B 是 BC1 与 AC 所成角.设 BC=a,则 CO=在A 1BC1 中，由余弦定理得异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos解法二:（I ）建立空间直角坐标系 D-xyz,如图。设 AD=a，DD 1=b，则有 D（0，0，0），A （ a，0，0），B （ a，a，0），C（ 0， a，0），C 1（0，a，b），BD AC，BD CC 1又AC，CC 1
9、 平面 ACC1A1，且 ACCC 1=C，BD 平面 ACC1A1。（II）设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O，则点 O 坐标为)BDC 1O，又 BDCO， C 1OC=60异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为18由已知条件立即可证得，在平面 BB1C 内作 BDB 1C 于 D，由得 BD面 AB1C，BD 为 B 到面 AB1C 的距离， （本题也可用体积转换）19解法一（I）证明 由题设知 OAOO 1，OB OO 1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 故可以 O 为原点，OA、OB、OO 1 所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系
10、，如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）O 1（0，0， ）.从而所以 ACBO 1. （II）解：因为 所以 BO1OC，由（I） ACBO 1，所以 BO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量.设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量，由 得 . 设二面角 OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，所以 cos ， =即二面角 OACO1 的大小是解法二（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 从而 AO平面 OBCO1，OC 是 AC 在面OBCO1 内的射影.因为
11、 ，所以OO 1B=60，O 1OC=30，从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1.（II）解 由（ I）ACBO 1，OCBO 1，知 BO1平面 AOC.设 OCO 1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图 4），则 EF 是O1F 在平面 AOC内的射影，由三垂线定理得 O1FAC. 所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角. 由题设知 OA=3，OO 1= ，O 1C=1，所以 ，从而 ， 又 O1E=OO1sin30= ，显然可得 MN平面 ABC，平面 MNC 平面 ABC ，MNPC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，作 MQAC ，则 MQ
12、平面ABC，作 QD 于 D，则 MD ，MD 的长即为 M 到 的距离在 Rt ACB 中，可求得 ，又 ，QCD30?， ， ，于是20作 AOBC 交 BC 的延长线于 O，面 ABC面 BCD，OA面BCD，连 OD，则ADO 就是 AD 与平面 BCD 所成的角，可求得ADO 45?作 OEBD 于 E，连 AE，则 BDAE，AEO 就是二面角 ABD C 的平面角的补角，ABO60?， ， ， EBO60?，在 Rt AOE 中， ，二面角 A BDC 的正切值为221. （1）证明：取 CD 中点 M，连结 OM，在矩形 ABCD 中，又 ，则 。连结 EM，于是四边形 EFO
13、M 为平行四边形 FO/EM又 FO 平面 CDE，且 EM 平面 CDE， FO/平面 CDE（2）证明：连结 FM，由（1）和已知条件，在等边 中，CM=DM，EMCD 且 。因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EOFM CDOM ，CD EM CD平面 EOM，从而 CDEO而 FM CD=M，所以 平面 CDF22（I）证明：连结 OC在 中，由已知可得而即平面（II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 中，是直角 斜边 AC 上的中线，异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为（III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为在 中，而点 E 到平面 ACD 的距离为
