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1、o线性代数必考的知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;2, 代数余子式的性质：、Aij和a.的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A| ;3. 代数余子式和余子式的关系：Mij=（1尸AjA. = （_1）TMij4. 设n行列式D :n（ n V）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1 =（一1） D ;n（ n J）将D顺时针或逆时针旋转 90，所得行列式为 D2，则D2 =（-1） D ;将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 = D
2、;将D主副角线翻转后，所得行列式为D4 ,则D4 = D ；5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 、上、下三角行列式（| =| ） 、|和| ：副对角元素的乘积: 、拉普拉斯展开式:A = A CC B O Bn （n 1）:主对角元素的乘积;n（ n A）小间、C A=lO A=(-1)FbB O B C、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;n6. 对于n阶行列式|A ,恒有：|滞一A=%n+Z （1）kSdnJi，其中Sk为k阶主子式;k 47. 证明A =。的方法： 、A = A ; 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax= 0,证
3、明其有非零解； 、利用秩，证明r（A） n ; 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：u |a ,0 （是非奇异矩阵）；u r（A） = n （是满秩矩阵）U A的行（列）向量组线性无关；U齐次方程组Ax =0有非零解；u X?b在Rn , Ax =b总有唯一解；u A与E等价；U A可表示成若干个初等矩阵的乘积；=A的特征值全不为0;-AT A是正定矩阵；u A的行（列）向量组是 Rn的一组基;u A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* = A*A = A E无条件恒 成立；1 *11 TT 1* TT *3. (A-)=(A)-(A-)=(A 广(A
4、) =(A )_T_TT*_1_11(AB)=BA(AB)=B A(AB )一= B - A -4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：:A、若 A =A2 .，贝 U ：IA5 JI、 A =AA2 III As：;（副对角分块）（主对角分块）（拉普拉斯）A O 广，A上 OC B-B aCA A B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m xn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =Er | ; mn等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩
5、阵；对于同型矩阵A、B ,若r（A） = r（B） u AL B ;2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0;3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r 、若（A, E） 口（E, X），则A可逆，且X = A七c 、对矩阵（A, B）做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A B，即：（A B）、（E, A二B）;r 、求解线形方程组：对于 n个未知数n个方程Ax=b，如果（A, bQ （E, x）,则A可逆，且x=A二b;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换
6、，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、A= &，左乘矩阵A ,入乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；、对调两行或两列,符号，1,1,且 E(i, j)- = E(i, j),例如：1=1oE (i , j)、倍乘某行或某列,符号-,1E(i(k)，且 E(i (k)- = E(i(-),例如:k.-彳1kkI 1J1J(k# 0)_11k.、倍加某行或某列，符号E(ij (k),且 E (ij(k)-= E(ij(-k),如：1=11 J(k# 0);5.矩阵秩的基本性质：0 _r(Am n) _min(m,n) r(AT ) =r(A);若 AU B，贝U r(A)= r
7、(B);若P、Q可逆，贝U r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩 ) max(r (A), r (B) M r (A, B ) r(A)+r( B) ; 3)D、r(A+B) r(A) +r(B);(洪)r(AB)苴min(r(A),r(B);(洪)如果 A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且 AB =0 ,贝U: 逐)B的列向量全部是齐次方程组 AX = 0解(转置运算后的结论)；6.、 r (A) - r (B ) r (A)+r(B) n;三种特殊矩阵的方藉：、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)乂行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;、
8、型如cb的矩阵：利用二项展开式;b二项展开式:n c。 n 1 n-11mn-mmn -11i(a - b)GaGa b | Ga b U|l Cn abn、cnbn = .、，他；m zQ7.(a+b)n展开后有n+1项;h、 1)注：I、七2_3_，-_mn!m!(n -m)!0 nC： C：=1m、组合的性质：Cnm =Cr、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵：、伴随矩阵的特征值：n .1A = AA 、A = | AmmCn 1 Cnn,C； =2：r =0rC： =nC；M;nr (A) = n1r (A) = n-1 ；0r (A) : n -1(AX=X, A* = A A*-A
9、 X、伴随矩阵的秩：r(A*)|A =5);8.关于A矩阵秩的描述：0;(两句话) 、r(A) = n , A中有n阶子式不为0, n+1阶子式全部为、r(A) n , A中有n阶子式全部为0;、r（A）芝n , A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组：Ax=b，其中A为mxn矩阵，贝U: 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;10. 线性方程组 Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得;11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元
10、线性方程:、Jan Xi 标 x 2 IH a nXn =b a2i 阳 a22x2 IH a?nx” =bI II川H川川IIHHHIll川III川 am 1 xi am2 x2 TH anmxn =瓦ai1a12a21a 22m1am 2Ax -b（向量方程,A为mxn矩阵，m个方程,n个未知数）、（a a2 III an）： =E （全部按列分块，其中n、a1 x + a2x2 +| +anxn =E (线性表出) 、有解的充要条件：r（A）= r（A,E）壬n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A :皿,|,otm构成nxm矩阵A =（皿
11、,，川,ctm ）；舄.m个n维行向量所组成的向量组B :皆，虏，川，栩构成mxn矩阵B =含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关 u Ax= 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出uAx=b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示-AX =B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵An漏与Bw行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax= 0和Bx = 0同解；（P101例14）4.r(ATA)=r(A) ; ( P101 例 15)5.n维向量线性相关的几何意义: 、a线性相关 、口, E线性相关 、a, E, Y线性相关u a =0 ;u
12、ot, 0坐标成比例或共线（平行）u a,E,Y共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若,叫，川，以线性相关，则1,口2,山,口 ,皿+必线性相关;若线性无关，则0,0（2,川,0（5必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n-r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，贝U rs； 向量组A能由向量组B线性表示，贝U r（A）壬r（B）;向量组A能由向量组B
13、线性表示U AX =B有解；:二 r(A)= r (A, B)向量组A能由向量组B等价仁r(A) = r(B) = r(A B)8. 方阵A可逆 仁 存在有限个初等矩阵 R, P2,|,Pi，使A=RP2山Pl ；r 、矩阵行等价：A B=PA=B (左乘，P可逆)uAx= 0与Bx = 0同解c 、矩阵列等价：A Bu AQ = B (右乘，Q可逆)； 、矩阵等价： A Bu PAQ=B ( P、Q可逆)；9. 对于矩阵AnR与B| 、若A与B行等价，贝u A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，贝U Ax =0与Bx= 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若1妲冲=&用，贝U: 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)11. 齐次方程组Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx= 0只有零解 n Bx= 0只有零解； 、Bx= 0 有非零解 n ABx= 0一定存在非零解；12. 设向量组BnX : bi, b2,川,br可由向量组 A,建：a, a2,川,as线性表示为：(b,也,川,br)=(a
