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1、o线性代数必考的知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式;2, 代数余子式的性质:、Aij和a.的大小无关; 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A| ;3. 代数余子式和余子式的关系:Mij=(1尸AjA. = (_1)TMij4. 设n行列式D :n( n V)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1 =(一1) D ;n( n J)将D顺时针或逆时针旋转 90,所得行列式为 D2,则D2 =(-1) D ;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3 = D
2、;将D主副角线翻转后,所得行列式为D4 ,则D4 = D ;5. 行列式的重要公式: 、主对角行列式:主对角元素的乘积; 、副对角行列式:副对角元素的乘积 、上、下三角行列式(| =| ) 、|和| :副对角元素的乘积: 、拉普拉斯展开式:A = A CC B O Bn (n 1):主对角元素的乘积;n( n A)小间、C A=lO A=(-1)FbB O B C、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;n6. 对于n阶行列式|A ,恒有:|滞一A=%n+Z (1)kSdnJi,其中Sk为k阶主子式;k 47. 证明A =。的方法: 、A = A ; 、反证法; 、构造齐次方程组 Ax= 0,证
3、明其有非零解; 、利用秩,证明r(A) n ; 、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵:u |a ,0 (是非奇异矩阵);u r(A) = n (是满秩矩阵)U A的行(列)向量组线性无关;U齐次方程组Ax =0有非零解;u X?b在Rn , Ax =b总有唯一解;u A与E等价;U A可表示成若干个初等矩阵的乘积;=A的特征值全不为0;-AT A是正定矩阵;u A的行(列)向量组是 Rn的一组基;u A是Rn中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n阶矩阵A : AA* = A*A = A E无条件恒 成立;1 *11 TT 1* TT *3. (A-)=(A)-(A-)=(A 广(A
4、) =(A )_T_TT*_1_11(AB)=BA(AB)=B A(AB )一= B - A -4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A、B可逆::A、若 A =A2 .,贝 U :IA5 JI、 A =AA2 III As:;(副对角分块)(主对角分块)(拉普拉斯)A O 广,A上 OC B-B aCA A B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m xn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F =Er | ; mn等价类:所有与 A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩
5、阵;对于同型矩阵A、B ,若r(A) = r(B) u AL B ;2. 行最简形矩阵: 、只能通过初等行变换获得; 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)r 、若(A, E) 口(E, X),则A可逆,且X = A七c 、对矩阵(A, B)做初等行变化,当 A变为E时,B就变成A B,即:(A B)、(E, A二B);r 、求解线形方程组:对于 n个未知数n个方程Ax=b,如果(A, bQ (E, x),则A可逆,且x=A二b;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: 、初等矩阵是行变换还是列变换
6、,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 、A= &,左乘矩阵A ,入乘A的各行元素;右乘,乘A的各列元素;、对调两行或两列,符号,1,1,且 E(i, j)- = E(i, j),例如:1=1oE (i , j)、倍乘某行或某列,符号-,1E(i(k),且 E(i (k)- = E(i(-),例如:k.-彳1kkI 1J1J(k# 0)_11k.、倍加某行或某列,符号E(ij (k),且 E (ij(k)-= E(ij(-k),如:1=11 J(k# 0);5.矩阵秩的基本性质:0 _r(Am n) _min(m,n) r(AT ) =r(A);若 AU B,贝U r(A)= r
7、(B);若P、Q可逆,贝U r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩 ) max(r (A), r (B) M r (A, B ) r(A)+r( B) ; 3)D、r(A+B) r(A) +r(B);(洪)r(AB)苴min(r(A),r(B);(洪)如果 A是mxn矩阵,B是nxs矩阵,且 AB =0 ,贝U: 逐)B的列向量全部是齐次方程组 AX = 0解(转置运算后的结论);6.、 r (A) - r (B ) r (A)+r(B) n;三种特殊矩阵的方藉:、秩为1的矩阵:一定可以分解为 列矩阵(向量)乂行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、
8、型如cb的矩阵:利用二项展开式;b二项展开式:n c。 n 1 n-11mn-mmn -11i(a - b)GaGa b | Ga b U|l Cn abn、cnbn = .、,他;m zQ7.(a+b)n展开后有n+1项;h、 1)注:I、七2_3_,-_mn!m!(n -m)!0 nC: C:=1m、组合的性质:Cnm =Cr、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵:、伴随矩阵的特征值:n .1A = AA 、A = | AmmCn 1 Cnn,C; =2:r =0rC: =nC;M;nr (A) = n1r (A) = n-1 ;0r (A) : n -1(AX=X, A* = A A*-A
9、 X、伴随矩阵的秩:r(A*)|A =5);8.关于A矩阵秩的描述:0;(两句话) 、r(A) = n , A中有n阶子式不为0, n+1阶子式全部为、r(A) n , A中有n阶子式全部为0;、r(A)芝n , A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax=b,其中A为mxn矩阵,贝U: 、m与方程的个数相同,即方程组Ax=b有m个方程; 、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax=b为n元方程;10. 线性方程组 Ax=b的求解: 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元
10、线性方程:、Jan Xi 标 x 2 IH a nXn =b a2i 阳 a22x2 IH a?nx” =bI II川H川川IIHHHIll川III川 am 1 xi am2 x2 TH anmxn =瓦ai1a12a21a 22m1am 2Ax -b(向量方程,A为mxn矩阵,m个方程,n个未知数)、(a a2 III an): =E (全部按列分块,其中n、a1 x + a2x2 +| +anxn =E (线性表出) 、有解的充要条件:r(A)= r(A,E)壬n ( n为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A :皿,|,otm构成nxm矩阵A =(皿
11、,,川,ctm );舄.m个n维行向量所组成的向量组B :皆,虏,川,栩构成mxn矩阵B =含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关 u Ax= 0有、无非零解;(齐次线性方程组) 、向量的线性表出uAx=b是否有解;(线性方程组) 、向量组的相互线性表示-AX =B是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵An漏与Bw行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax= 0和Bx = 0同解;(P101例14)4.r(ATA)=r(A) ; ( P101 例 15)5.n维向量线性相关的几何意义: 、a线性相关 、口, E线性相关 、a, E, Y线性相关u a =0 ;u
12、ot, 0坐标成比例或共线(平行)u a,E,Y共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若,叫,川,以线性相关,则1,口2,山,口 ,皿+必线性相关;若线性无关,则0,0(2,川,0(5必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上 n-r个分量,构成n维向量组B :若A线性无关,则B也线性无关;反之若 B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r)能由向量组B (个数为s)线性表示,且 A线性无关,贝U rs; 向量组A能由向量组B线性表示,贝U r(A)壬r(B);向量组A能由向量组B
13、线性表示U AX =B有解;:二 r(A)= r (A, B)向量组A能由向量组B等价仁r(A) = r(B) = r(A B)8. 方阵A可逆 仁 存在有限个初等矩阵 R, P2,|,Pi,使A=RP2山Pl ;r 、矩阵行等价:A B=PA=B (左乘,P可逆)uAx= 0与Bx = 0同解c 、矩阵列等价:A Bu AQ = B (右乘,Q可逆); 、矩阵等价: A Bu PAQ=B ( P、Q可逆);9. 对于矩阵AnR与B| 、若A与B行等价,贝u A与B的行秩相等; 、若A与B行等价,贝U Ax =0与Bx= 0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 、矩阵A的行秩等于列秩;10. 若1妲冲=&用,贝U: 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示,B为系数矩阵; 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; 、ABx= 0只有零解 n Bx= 0只有零解; 、Bx= 0 有非零解 n ABx= 0一定存在非零解;12. 设向量组BnX : bi, b2,川,br可由向量组 A,建:a, a2,川,as线性表示为:(b,也,川,br)=(a