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1、1第七章二元一次方程组7.3 实践与探索第一课时教学目的通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。重点、难点 1，重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。2难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。教学过程一、复习列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?二、新授问题 1第 35 页实践与探索中的第一个问题。学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新
2、。学生有困难，教师加以引导：1本题有哪些已知量?(1)共有白卡纸 20 张。(2)一张白卡纸可以做盒身 2 个或盒底盖 3 个。(3)1 个盒身与 2 个盒底盖配成一套。2求什么?(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?3若设用 x 张白卡纸做盒身，y 张白卡纸做盒底盖。那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?2x 个盒身，3y 个盒底盖 4找出 2 个等量关系。(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的 2 倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。根据题意，得x+y203y=22x解出这个方程组。以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题
3、意的分法。如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?用 8 张白卡纸做盒身，可做 82 二 16(个)用 1l 张白卡纸做盒底盖，可做 31133(个)将余下的 l 张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共可做 17 个包装盒，较充分地利用了材料。三、巩固练习某农场 300 名职工耕种 5l 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：2已知该农场计划在设备上投入 67 万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?先让学生自主探索，与伙伴交流。对有困难的学生教师加以
4、引导。(提问式)1本题中有哪些已知量?(1)安排种三种农作物的人数共 300 名；(2)安排种三种农作物的土地共 51 公顷；(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；(5)三种农作物需要的资金和为 67 万元。2求什么? 分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?如果设安排 x 公顷种水稻，y 公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。这样根据已知，(3)可得种水稻 4x 人，棉花 8y 人，蔬菜 5(51-x-y)人. 根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为 x 万元、y 万元 2(51-x-y)万元已知量中的
5、(1)、(5) 就是两个等量关系因此，列方程组4x+8y+5(51-x-y)300x+y+2(51-x-y)=67本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应 给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。四、作业教科书习题 7.3，第 1 题。第二课时教学目的让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。重点、难点1重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。2难点：寻找相等关系。教学过程一、复习提问列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?二、
6、新授上一节课我们探索了 2 个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天农作物品种 水稻 棉花 蔬菜每公顷需劳动力 4 人 8 人 5 人每公顷需投入资金 1 万元 1 万元 2 万元3我们再宋探索一个有趣的问题。请同学们打开课本第 35 页，阅读问题 2。让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：这里讲的“其中的奥秘” ，是指什么?“奥秘”是指用这 8 块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为 2mm 的小正方形的洞?其中的道理是什么?教师可以作以下引导：1观察小明的拼图，你能发现小长方形的长 xmm 与宽 ymm 之间的数量关系吗?(根据矩形
7、的对边相等，得 3x5y)2再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长 xmm 与宽 ymm 的另一个关系式吗?因为 ABCD+DE+FG，所以有 x+25y=2x+2即 2y-x2解方程组 3x=5y2y-x=28 个小矩形的面积和8xy8106=480(mm2)大正方形的面积=(x+2y)2(10+26)2 484(mm2)484480422因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为 2mm 的小正方形。问题：有没有这样的 8 个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？三、做一做。把第 6 章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种
8、，谈谈你的感受。问题 1：设长方形的长为 xcm，宽为 ycm，根据题意列方程组yxxy问题 2：设小明的爸爸前年存了 x 元，利息税为 y 元，由题意得：y2.43%x220%2.43%x2y48.6问题 3：设小张家到火车站有 x 千米，乘公共汽车从小张家到火车站要 y 小时，由题意得：40x280y40x80y40（xy）四、小结五、作业教科书习题 7.3 第 2 题小结与复习(一)教学目的1使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元 的消
9、元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知” ，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。2列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。4重点、难点1重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。2难点；找出等量关系列出二元一次方程组.教学过程一、复习小结1.知识结构二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。2注意事项 (1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一
10、次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。二、课堂练习1求二元一次方程 3x+y10 的正整数解。分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如 y10-3x，给定 x 一个值，求出 y 的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数 x、y 作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的 x 可能是 1、2、3、4但是当 x4 时，y 10-34
11、=-2，y 却不是正整数，因此 x 只能取正整数的一部分，即 x= 1，x=2，x=3 。2已知 x=1 2xnm=5y=2 是方程组 mxny=5 的解，求 m 和 n 的值。分析：因为，x=1，y2 是方程组的解。根据方程组解的定义和 x=1，y2 既满足方程又满足方程于是有：2n-2m=5 m+2n3 解这个方程组即可。3.A、B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从 A、月两地同时出发，同向而行，甲车 3 小时可追上乙车；相向而行，两车 1.5 小时相遇，求甲、乙两车的速度。分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：(1)同向而行：甲 3 小时的行程乙 3 小时行程
12、十 150 千米(2)相向而行：甲 1.5 小时行程+乙 1.5 小时行程150 千米解设甲车的速度为 x 千米/时，乙车的速度为 y 千米/时。根据题意，得3x=3y+1501.5x+1.5y=150解这个方程组即可。4.一个三位数，各数位上的数字之和为 13，十位上的数字比个位上的数字大 2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大 99，求这个三位数。分析：怎样设未知数?直接设可以吗?这里有三个未知数个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?由“十位上数字比个位上的数字大 2”，可设原三位数的个位上的数字为 x，则十位上数字
13、为x+2，另设百位上数字为 y.5如何表示原三位数和新三位数?100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y2 个等量关系是什么?(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字13(2)新三位数一原三位数=99根据题意，得x+(x+2)+y=13100x+10(x+2)+y-100y+10(x+2)+x=99解这个方程组即可。三、小结1解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l 时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。 2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化
14、为方程组。 小结与复习(二)教学目的通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。重点：列二元一次方程组解应用题。难点：间接设元以及找出 2 个等量关系。一、复习1列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?2如何设未知数?我们已经知道，有两种设元方法直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系” ，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。二、新授例 1某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距 100 公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处
15、下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是 8 公里，汽车时速是 40 公里，问要使大家在下午 4:00 同时到达乙地，必须在什么时候出发?分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。X 公里 ADy 公里 B C甲上车点下车点乙(1)汽车从 A BD 所需的时间与先步行的一部分人从 A 到 D 所需的时间相等。(2)汽车从 BDC 所需的时间与后步行的一部分人从 B 到 C 所需要的时间相等。因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地 x 公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距 y 公里，如图所示。由以上两个等量关系，得：6= = 解方程组即可得到方程组的解。 例 2：方程组ax+by=62 的解应为 x8mx-20y=-224y10但是由于看错了系数 m，而得到的解为，求 a+b+m 的值；三、巩固练习教科书第 39 页，第 6、7 题，第 40 页，第 11、12、13、14 题。第 9 章多边形91 三角形序言教学目的让学生步人社会、观察地面、墙面上的地砖、瓷砖的铺设，并亲手操作、拼摆，图案设计等活动，从中探索图形的性质，培养学生探索精神。重点：使学生通过观察、思考、自觉体会某些平面图形的性质。教学过程一、导入(提问)昨天你们已观察大街的人行道上，宾馆
