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1、第一章：有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。概念剖析：判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；常常有温差、时差、高度差(
2、海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；2、有理数的概念及分类：整数和分数统称为有理数。有理数的分类如下：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类： 概念剖析：整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数； 正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；3、数轴：标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线
3、上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。概念剖析：画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式，这两个公式选择那个都一样。4、
4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。概念剖析：“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。 很显然，数a的相反数是-a，即a与-a互为相反数。要把它与倒数区分开。 互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。如果数和数互为相反数，则+=0；或；求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上
5、“”即可；例如的相反数是；5、绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。概念剖析：“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即。 互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并
6、把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减
7、数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。概念剖析：“两个有理数相乘，同号
8、得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。概念剖析：除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即
9、可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。 倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为（a0）；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。5、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。（2）正数的任何次方都是正数
10、，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，-1偶数次幂是1、-1奇数次幂是-1；概念剖析：“an” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；。因为表示个相乘，而表示个a的相反数；任何数的偶次幂都得非负数，即。知识窗口：所有的奇数可以表示为2n+1或2n-1；所有的偶数可以表示为2n。6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运
11、算。（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。7、科学记数法（1）把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数
12、位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。概念剖析：I 把一个数用科学记数法表示为a10n，其中，为自然数，当时， 为这个数的整数位数减1；例如：用科学记数法表示得，它满足 ， （的整数部分有6位数）；当时，为0；例如：用科学记数法表示得；当时，为由变到的过程中小数点移动位数的相反数；科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。II 在让数字精确和数有效数字时应注意：在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略
13、。如：将精确到千分位，应为2.090，不应为2.09。其他分位也应注意。在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法a10n的形式中，效数字只与a有关，而与10n无关。第二章 整式的加减2.1 整式 单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项式。因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母；若式子中含有加、减运算关系，也不是单项式。单项式的系数：是指单项式中的数字因数；单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。多项式：几个单项式的和。多项式的次数：
14、多项式里次数最高项的次数。多项式的项：在多项式中，每一个单项式。（注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号）整事：单项式和多项式统称为整式。2.2整式的加减同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（几个常数项也是同类项）同类项必须同时满足两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列。如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括号内各项
15、的符号与原来的符号相同（反）。去（添）括号：若括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；第三章 一元一次方程1等式：用“=”号连接而成的式子叫等式。2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若，则或。（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若，则或；（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a=b，则b=a；（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换。3方程：含未知数的等式，叫方程。4方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项。移项的依据是等式性质1。移项必变号，“+”变“”，“
