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1、复变函数复习重点（一）复数的概念1. 复数的概念：z = x+iy , x, y 是实数，x = Re（z ）,y = Im （z ）.=1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2. 复数的表小1 ）模：z = Jx2 +y2 ;2）幅角：在z#0时，矢虽与x轴正向的夹角，记为 Arg（z）（多值函 数）；主值arg（z）是位于（-兀，兀中的幅角。3）arg（z ）与arctan -之间的关系如下：x业-. y -当 x 0, argz =arctanZ ；xyy - 0,arg z =arctan- 二x 0,y y : 0,arg z= arctan- 一.x4） 三角表小
2、:z = z （co用+i sine）,其中1 e=argz；注：中间一*定是 “ +”号。5） 指数表小:z=ze旧，其中8 = argz。（二）复数的运算1. 加减法：若 z1=x+iy2=x2+iy2，贝U 乙=（ x x?）+i（y士 y?）2. 乘除法：1）若乙=x+iy，z2 =x2+iy2 ,贝Uzz2 =（xx2 yM ）+i 仪2山 +xm ）；2xy x2yzxi y 为 i y x i 2/x x y ：y I22z2x2i y x i2y - 2x2y2x2y2)若 4 =乙 eH,丕=z2 ez1z2 =次邺);至卫衅)z2z23. 乘昂与方根1 )若 z = z (
3、cos6 +i sinB) =|z e旧，贝Uzn=|zn (cos汨+isin 汨)=zn eo2)若 z = z (cos+i sinW) =|z e%贝U2k二 cosn. . 2k 二i sinn(k = 0,1,2j|n-1)(有n个相异的值)（三）复变函数1 .复变函数：w=f（z）,在几何上可以看作把z平面上的一 个点集D变到w平面上的一个点集G的映躬.2. 复初等函数1）指数函数：ez=ex（cosy+isiny ）,在z平面处处可导，处处解析；且（ez ） =ez o注：ez是以2叫为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz=ln|z|+i（argz+2k （
4、k =0,1,2|）（多值函数）；主值： ln z = ln z| +i argz。 （单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz =1； z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘藉与藉函数：ab=ebLna （a，0） ； zb = ebLnz0）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且(/j=bzb。4)三角函数：sinz=JM,cosz = 5,tgz=虹,浊=竺 2i2cosz sin zsin z,cos z在z平面内解析，且(sin z = cosz, cosz - - sin z注：有界性sinz#,cosz1不再成立；(与实
5、函数不同)z_zz _z4)双曲函数 shz= ,chz=；22shz奇函数，c h是偶函数。s h,z c h& z平面内解析，且(s h z = c h z ) oh z o shz(四) 解析函数的概念1. 复变函数的导数1) 点可导：fM=：z)-fm);2) 区域可导：f(z)在区域内点点可导。2. 解析函数的概念1) 点解析：f(z )在及其zo的邻域内可导，称f(z )在乙点解析；2) 区域解析：f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析；3) 若f (z)在zo点不解析，称zo为f(z)的奇点；3. 解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析
6、函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；(五) 函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件:f (z)=u(x,y)十iv(x,y诳z = x+iy可导u u(x, y )和v(x, y )在(x, y)可微，且在(x, y )处满足C - R条件：一u；:vju；:v,.x；:y.:y.x此时，有f(z广丝+。；x；x2 .函数解析的充要条件：f (z)=u(x,y)+iv(x,y兄E区域内解析u u(x, y )和v(x, y )在(x,y )在D内可微，且满足C R条件：.:uN；:u:v=一, 一 :x：y；：y:x此时f z二史iM；x ；x注意：若u(x,y),v(x,y )在
7、区域D具有一阶连续偏导数，则u( x, y ),v(x, y ) 在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说 明u,v具有一阶连续偏导且满足C R条件时，函数f(z)=u+iv 一定是可导或解析的。3. 函数可导与解析的判别方法1) 利用定义(题目要求用定义，如第二章习题 1)2) 利用充要条件(函数以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)3) 利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形式给出，如第二章习题 3)(六) 复变函数积分的概念与性质1 .复变函数积分的概念：Jf(z)dz = lim2 口门归，c是光滑曲线。cn jk d注：复
8、变函数的积分实际是复平面上的线积分。-可编辑修改-2 .复变函数积分的性质1 )f (z)dz = Jf (z)dz(c与 c 的方向相反)；2) gaf (z)+Eg(zdz =叮 f (z)dz + E Jcg(z)dz,a，日是常数；3) 若曲线 c 由 ci与 C2连接而成，贝U JC f (z )dz= L f (z)dz + J f (z)dz。3. 复变函数积分的一般计算法1) 化为线积分：Jcf (z)dz=cudxvdy+i vdx + udy ;(常用于理论证明)2) 参数方法：设曲线 c : z = z(t)0t即)，其中a对应曲线c的起点，P对应曲线c的终点，贝UJ f
9、 ( z) d=z* f( z t ( z。t d tc(七) 关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则jf (z)dz=0 c2 .复合闭路定理： 设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，ci,c2,川cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不 相交，并且以G.jllcn为边界的区域全含于 D内，则nJ|f (z)dz =，皿f (z )dz, 其中1 c与ck均取正向；gf(z)dz=0，其中由c及/ = 1,2,川n)所组成的复合闭路。3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的 积分，
10、不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程 中c不经过使f(z)不解析的奇点。4. 解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域B内解析，G(z)为 f(z )在8 内的一个原函数，贝Uf (zpz=G(Z2)-G(Zi)(z1,z2 B)zi说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算 时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式： 设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D , z0为c内任意一点，则f zdz=2二if zCz-zo6. 高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的 n阶 导数为M zn.dz=2 f(nkzo ) (n = 1,211) c(z-z) n!其中c为f (z)的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于Do7. 重要结论：mrdzW2”n=。( c是包含a的任意正向简单闭曲Y(z-a)n10, n=0线)8. 复变函数积分的计算方法 1 )若f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法f z dz = _ fz t z t dtc、J2)设f (z)在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，&f(z)dz = 0c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有z2f z dz = f z dz = F z2 - F 乙cz
