指数与指数幂的运算导学案电子教案

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1、名师精编优秀教案 2.1.1 指数与指数幂的运算（ 1） 学习目标 1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性； 2. 了解根式的概念及表示方法； 3. 理解根式的运算性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P48 P50，找出疑惑之处） 复习 1：正方形面积公式为；正方体的 体积公式为. 复习 2： （初中根式的概念）如果一个数的平方等于 a， 那么这个数叫做a 的， 记作； 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的，记作. 二、新课导学 学习探究 探究任务一 ：指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的 背景，体会引入指数函数的必要性. 实例 1. 某市人口平均

2、年增长率为1.25，1990 年 人口数为a 万，则 x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你 能超过 8 次吗？ 计算 ：若报纸长50cm，宽 34cm，厚 0.01mm，进 行对折 x 次后，求对折后的面积与厚度？ 问题 1：国务院发展研究中心在2000 年分析， 我国 未来 20 年 GDP（国内生产总值）年平均增长率达 7.3， 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍？ 问题 2：生物死亡后，体内碳14 每过 5730 年衰减 一半（半衰期） ，则死亡t 年后体内碳14 的含量 P 与死亡时碳14 关系为 5730 1 () 2 t P . 探究

3、该式意义？ 小结 ：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二 ：根式的概念及运算 考察 ： 2 ( 2)4，那么2就叫 4 的； 3 327 ，那么 3 就叫 27 的； 4 ( 3)81，那么3就叫做 81的. 依此类推， 若 n xa ,， 那么x叫做a的. 新知 ：一般地，若 n xa ,那么x叫做a的n次方根 ( nth root )，其中1n ,n . 简记： n a . 例如： 3 28，则 3 8 2 . 反思 ： 当 n 为奇数时 , n 次方根情况如何？ 例如： 3 27 3， 3 27 3, 记： n x a . 当 n

4、为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如： 81的 4 次方根就是，记： n a . 强调 ：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，即00 n . 试试 ： 4 ba ，则a的 4 次方根为； 3 ba，则a的 3 次方根为. 新知 ：像 n a 的式子就叫做根式 （ radical） ，这里 n 叫做根指数（radical exponent） ，a 叫做被开方数 （radicand）. 试试 ：计算 2 2 (3) 、 3 3 4 、( 2) n n . 反思 ： 从特殊到一般，()n n a、 nn a的意义及结果？ 名师精编优秀教案 结论 ：() n n aa. 当n是奇数时， nn

5、 aa ；当n是 偶数时， (0) | (0) nn aa aa aa . 典型例题 例 1 求下类各式的值： （1） 3 3 ()a；（2） 4 4 ( 7)； （3） 6 6 (3)； （ 4） 2 2 ()ab （ a b ）. 变式 ：计算或化简下列各式. （1） 5 32 ；（2） 3 6 a. 推广 ： np n mpm aa（a0）. 动手试试 练 1. 化简52 674 364 2 . 练 2. 化简 63 2 31.5 12 . 三、总结提升 学习小结 1. n 次方根，根式的概念； 2. 根式运算性质 . 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质：若0a，则0 n a. 2.

6、 正整数指数幂满足不等性质： 若1a，则1 n a； 若 01a，则 01 n a. 其中nN*. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分： 1. 4 4 ( 3)的值是（）. A. 3 B. 3 C. 3 D. 81 2. 625 的 4 次方根是（）. A. 5 B. 5 C. 5 D. 25 3. 化简 2 2 ()b是（）. A. bB. bC. bD. 1 b 4. 化简 6 6 ()ab= . 5. 计算： 33 (5) = ； 24 3. 课后作业 1. 计算： （1） 510

7、 a；（2） 39 7 . 2. 计算 34 aa和 3 (8) a，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？ 3. 对比 () nnn aba b 与( ) n n n aa bb ，你能把后者归入 前者吗？ 名师精编优秀教案 2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2） 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P50 P53，找出疑惑之处） 复习 1： 一般地，若 n xa ， 则x叫做a的， 其中1n,n . 简记为：. 像 n a 的式子就叫做，具有如下 运算性质： () nn a= ； n

8、n a= ； np mp a= . 复习 2：整数指数幂的运算性质. （1） mn aa； （2） () mn a； （3） () n ab. 二、新课导学 学习探究 探究任务 ：分数指数幂 引例 ：a0 时， 10 510252 5 5 ()aaaa， 则类似可得 312 a； 22 3 323 33 ()aaa，类似可得a. 新知 ：规定分数指数幂如下 * (0,1) m nm n aaam nNn； *11 (0,1) m n m nm n aam nNn a a . 试试 ： （1）将下列根式写成分数指数幂形式： 25 3 = ； 34 5 = ； m a= (0,)amN. （2）求

9、值： 2 3 8 ； 2 5 5 ； 4 3 6； 5 2 a . 反思 ： 0的正分数指数幂为；0 的负分数指数 幂为. 分数指数幂有什么运算性质？ 小结 ： 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幂 指数幂的运算性质：（0,0,abr sQ ） r a rrs aa；() rsrs aa；() rrs aba a 典型例题 例 1 求值： 2 3 27 ； 4 3 16； 33 () 5 ； 2 3 25 () 49 . 变式 ：化为根式 . 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b： （1） 2 b

10、b ； （2） 5 33 bb ； （3） 34 b b . 例 3 计算（式中字母均正） ： （1） 211511 336622 (3)( 8)( 6)a ba ba b ； （2） 31 16 84 ()m n . 小结 ：例 2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例 4 计算： 名师精编优秀教案 （1） 3 34 a aa (0)a； （2） 31 2103 6 52 (2)()m nm n(,)m nN； （3） 344 ( 1632)64 . 小结 ：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为 正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根 式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则. 反思

11、 ： 2 3的结果？ 结论 ：无理指数幂.（结合教材P53利用逼近的思想 理解无理指数幂意义） 无理数指数幂(0,)aa是无理数 是一个确定 的实数实数指数幂的运算性质如何？ 动手试试 练 1. 把 8 5 1 32 3 xx 化成分数指数幂. 练 2. 计算：（1） 344 3327 ； （2） 3 4 6 3 8 () 125 a b . 三、总结提升 学习小结 分数指数幂的意义；分数指数幂与根式的互 化；有理指数幂的运算性质. 知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为： 0 t mm e，其 中 t 表示经过的时间， 0 m 表示初始质量，衰减后的 质量为 m，为正的常数 . 学习评价 自我

12、评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分： 1. 若0a，且,m n为整数，则下列各式中正确的 是（） . A. m mn n aaaB. mnmn aaa C. n mmn aaD. 0 1 nn aa 2. 化简 3 2 25 的结果是（）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算 1 2 2 2的结果是（）. A2B2 2 2 D 2 2 4. 化简 2 3 27= . 5. 若102, 10 4 mn ，则 3 2 10 mn = . 课后作业 1. 化简下列各式： （1） 3

13、2 36 () 49 ；（2） 23 3 aba bab . 2. 计算： 34 3 3 3324 3 8 12 24 aabb a aaba . 2.1.1 指数与指数幂的运算 （练习） 名师精编优秀教案 学习目标 1. 掌握 n 次方根的求解； 2. 会用分数指数幂表示根式； 3. 掌握根式与分数指数幂的运算. 学习过程 一、课前准备 （复习教材P48 P53，找出疑惑之处） 复习 1：什么叫做根式? 运算性质？ 像 n a 的式子就叫做，具有性质： () n n a= ； nn a= ； np mp a= . 复习 2：分数指数幂如何定义？运算性质？ m n a； m n a. 其中 *

14、 0,1am nNn rs aa；() rs a； () s ab. 复习 3：填空 . n 为时， (0) |. (0) nn x xx x . 求下列各式的值： 3 6 2 = ； 4 16 = ； 6 81= ； 2 6 ( 2)= ； 15 32 = ； 48 x = ； 624 a b= . 二、新课导学 典型例题 例 1 已知 11 22 aa =3，求下列各式的值： （1） 1 aa；（2） 22 aa；（3） 33 22 11 22 aa aa 补充：立方和差公式 3322 ()()abab aabb. 小结 ：平方法；乘法公式； 根式的基本性质 np nmpm aa（a0）等

15、 . 注意，a0 十分重要，无此条件则公式不成立. 例如， 2 3 6 ( 8)8. 变式 ：已知 11 22 3aa，求： （1） 11 22 aa；（ 2） 33 22 aa. 例 2 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 1 3 升，然后用 水填满， 再倒出 1 3 升，又用水填满， 这样进行 5 次， 则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 变式 ：n 次后？ 小结 ：方法：摘要审题；探究 结论； 解应用问题四步曲：审题建模解答作答. 动手试试 练 1. 化简： 1111 2244 ()()xyxy. 名师精编优秀教案 练 2. 已知 x+x-1=3，求下列各式的值 . （1） 11 22 x

16、x；（2） 33 22 xx. 练 3. 已知 12 ( ),0 x f xxx， 试求 12 ()()f xf x 的值 . 三、总结提升 学习小结 1. 根式与分数指数幂的运算； 2. 乘法公式的运用. 知识拓展 1. 立方和差公式： 3322 ()()abab aabb； 3322 ()()abab aabb. 2. 完全立方公式： 33223 ()33abaa babb ； 33223 ()33abaa babb . 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分： 1. 3 2 9的值为（）. A. 3B. 3 3C. 3 D. 729 2. 3 5 4 a aa (a0)的值