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1、1,第四节 高阶线性微分方程,线性微分方程的解的结构,小结 思考题 作业,二阶线性微分方程,线性,(higher-order linear ordinary differential equation),第十二章 微分方程,2,二阶,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,微分方程,形如,一、二阶线性微分方程,线性,微分方程,n阶,线性,3,定理1,？,证,叠加原理,一定是通解,(1),二、线性微分方程的解的结构,解,1.二阶齐次方程解的结构,齐次,4,线性无关,定义,线性相关.,否则称,线性无关.,如,线性相关,恒等式成立,如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内,那末称这n个函
2、数在区间I内,为定义在区间I内的n个函数.,5,特别地,如,线性无关.,定理2,通解,为了求,只要求它的两个线性无关的特解.,线性无关,的特解,那末,也是(1)的,齐次,线性方程的通解,若在I上有,通解.,6,定理2,推论,是n 阶齐次,线性方程,的n 个线性无关的解,那么, 此方程的通解为,其中,为任意常数.,可推广到n 阶齐次线性方程.,7,2.二阶非齐次线性方程的解的结构,定理3,的一个特解,为了求,非齐次线性方程的一个特解,和对应齐次线性方程,只要求得:,的通解.,非齐次,(2),非齐次,线性方程的通解,Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的,通解.
3、,是二阶非齐次线性微分方程,8,已知,的通解.,又容易验证,是所给方程的一个特解.,是非齐次方程的通解.,如,是二阶非齐次线性方程,是对应齐次方程,9,解的叠加原理,定理4,之和,的特解,那么,就是原方程的特解.,定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.,10,求解,解,的通解是,再考虑两个方程,分别是上述两个方程的特解.,所以原方程的通解为,例,11,线性微分方程解的结构,线性相关与线性无关的概念,三、小结,线性微分方程的概念,12,思考题,北方交大93级考题(7分),都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,13,证,齐次方程的特解.,非齐次线性方程的两个特解之差,是对应,结论,所以,非齐次线性方程的两个特解,则,是齐次方程的解.,14,方程的通解为,或,或,因而,齐次线性方程的通解,解,都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,线性无关.,所以,15,作 业,习题12-7(300页）,1. (1) (3) (5) 2. 3. 4. (2)(4)(6),
