《人教版高中数学【同课异构】精品课件4.2.2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学【同课异构】精品课件4.2.2(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 自学导引 1圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为:_、_、 _、_、_. 外离 外切 相交 内切 内含 2圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则 两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1, r2的关 系 _ _ |r1r2|d _ _ dr1r2 dr1r2 r1r2 d|r1r2| |r1r2| (2)代数法:设两圆的方程分别为: C1:x2y2D1xE1yF10(D2 1E 2 14F10), C2:x2y2D2xE2yF20(D2 2E 2 24F20), 联立方程得
2、x2y2D1xE1yF10, x2y2D2xE2yF20, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解 的个数 2 组 1 组 0 组 两圆的公 共点个数 _个 _个 _个 两圆的位 置关系 _ _或_ _或_ 2 1 0 相交 外切 内切 外离 内含 自主探究 探究 1:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相 离?只有一组解时一定外切吗? 【答案】 不一定 当两圆组成的方程组无解时, 两圆无公共点, 两圆可能相离也可能内含;只有一组解时,两圆只有一个公共点, 两圆相切,可能外切,也可能内切 探究 2:将两个相交的非同心圆的方程 x2y2DixEiyFi 0(i1,2)相减,可得
3、一直线方程,这条直线方程具有什么样的特 殊性呢? 【答案】两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点经过 相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线 预习测评 1.圆(x+2) 2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1) 2=9 的位置关系为 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 【答案】B 2两个圆 C1:x2y22x2y20,C2:x2y24x2y 10 的公切线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【答案】B 3点 P 在圆 O:x2y21 上运动,点 Q 在圆 C:(x3)2y2 1 上运动,则|PQ|的最小值为_ 4 两圆x2y2xy20和x2y25的公共
4、弦长为_ 【答案】1 【答案】 2 要点阐释 1两圆的公共弦 (1)设圆 O1:x2y2D1xE1yF10, 圆 O2:x2y2D2xE2yF20, 则两圆相交公共弦所在直线方程为: (x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0, 即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0. (2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长 问题,从而得以解决如图,利用圆 O1首先求出 O1点到相交弦所 在直线的距离 d,而 AC1 2l, 1 4l 2r2 1d 2,即 l2 r2 1d 2,从而得以解决 2圆系问题 (1)过两圆交点的圆系方程 若两圆 C1: x2y2D1xE1yF
5、10 与 C2: x2y2D2xE2y F20 相交,则过这两圆交点的圆的方程可表示为 C3:x2y2 D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.(不含圆 C2) (2)过直线与圆交点的圆系方程 若直线 l:AxByC0 与圆 C:x2y2DxEyF0 相 交,则经过它们交点的圆系方程可表示为: x2y2DxEyF(AxByC)0. 典例剖析 题型一 圆与圆位置关系的判断 【例 1】 已知圆 C1:x2y22mx4ym250,圆 C2:x2 y22x2mym230,问:m 为何值时,(1)圆 C1和圆 C2相 外切?(2)圆 C1与圆 C2内含? 思路点拨:将圆的方程化为标准方程,分别求
6、出圆心和半径, 比较讨论,得出结论 解: 对于圆 C1,圆 C2的方程,配方得 C1:(xm)2(y2)29,C2:(x1)2(ym)24. (1)如果圆 C1与圆 C2相外切,则有 (m1)2(m2)232, 即(m1)2(m2)225,m23m100,解得 m5 或 m2. (2)如果圆 C1与圆 C2内含,则有 (m1)2(m2)232,即 (m1)2(m2)21,m23m20,解得2m1. 故(1)当 m5 或 m2 时,圆 C1与圆 C2相外切; (2)当2m0, 所以圆 C1与圆 C2有两个不同的交点,即两圆相交 法二:把圆 C1的方程化为标准方程,得(x2)2(y2)210. 圆
7、 C1的圆心坐标为(2,2),半径长 r1 10. 把圆 C2的方程化为标准方程,得(x1)2(y4)225. 圆 C2的圆心坐标为(1,4),半径长 r25. 圆 C1和圆 C2的连心线的长为 (21)2(24)23 5, 圆 C1和圆 C2的两半径长之和是 r1r25 10,两半径长之 差是 r2r15 10. 而 5 103 55 10,即 r2r13 5r1r2. 所以圆 C1与圆 C2有两个不同的交点,即两圆相交 题型二 与两圆的公共弦有关的问题 【例 2】 求两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y 80 的公共弦所在直线的方程及公共弦长 思路点拨: 先利用两圆方程作差
8、消去二次项, 求出公共弦所在 的直线方程,然后转化为直线与圆相交求弦长问题 解:联立两圆的方程得方程组 x2y22x10y240, x2y22x2y80, 两式相减得 x2y40,此即 为两圆公共弦所在直线的方程 法一:设两圆相交于点 A,B,则 A,B 两点满足方程组 x2y40, x2y22x2y80, 解得 x4, y0 或 x0, y2. 所以|AB| (40)2(02)22 5,即公共弦长为 2 5. 法二:由 x2y22x10y240,得(x1)2(y5)250, 其圆心坐标为(1,5),半径长为 r5 2,圆心到直线 x2y4 0 的距离为 d|12(5)4| 1(2)2 3 5
9、.设公共弦长为 2l,由勾股 定理得 r2d2l2,即 50(3 5)2l2,解得 l 5,故公共弦长为 2l2 5. 2圆 A 的方程为 x2y22x2y70,圆 B 的方程为 x2 y22x2y20,判断圆 A 和圆 B 是否相交,若相交,求过两交 点的直线的方程及两交点间的距离;若不相交,说明理由 解:圆 A 的方程可写为(x1)2(y1)29,圆心 A(1,1),半 径 rA3.圆 B 的方程可写为(x1)2(y1)24, 圆心 B(1, 1), 半 径rB 2 , 两 圆 心 之 间 的 距 离 满 足3 2|AB| (11)2(11)22 232.即两圆心之间的距离小于两圆半径 之
10、和且大于两圆半径之差,两圆相交 两圆方程左、右两边分别相减可得 4x4y50,设两圆交 点分别为 C,D,则 C,D 两点坐标满足上述方程,故两圆公共弦 所在的直线方程为 4x4y50. 圆心 A 到直线 CD 的距离为 d|41415| 4242 13 8 2. 由勾股定理,得|CD|2 r2 Ad 22 3213 2 32 238 4 . 两圆相交,过两交点的直线方程为 4x4y50,两交点 间的距离为 238 4 . 题型三 圆系方程的应用 【例 3】 求经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程 思路点拨: 可以先求出已知两圆的交点坐
11、标, 然后由圆心在已 知直线上和圆过两定点求圆的方程, 也可以先用待定系数法设出过 两圆交点的圆系方程,再由圆心在已知直线上,确定系数 解: 法一:解方程组 x2y26x40, x2y26y280, 得两圆的交点 A( 1,3),B(6,2) 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线 xy40 上,故 b a4. 则 (a1)2(a43)2 (a6)2(a42)2, 解得 a1 2,故圆心为 1 2, 7 2 ,半径为 89 2 . 故圆的方程为 x1 2 2 y7 2 289 2 , 即 x2y2x7y320. 法二:设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28)0(1), 其圆心为
12、3 1, 3 1 ,代入 xy40,解得 7. 故所求圆的方程为 x2y2x7y320. 方法点评:求圆的方程,方法较多,然而利用圆系方程或利用 圆的几何性质求解,运算量较小且简便适用. 3 求过直线 2xy40 和圆 x2y22x4y10 的交点, 且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点;(2)有最小面积 解:设所求圆的方程为 x2y22x4y1(2xy4)0, 即 x2y22(1)x(4)y(14)0. (1)因为此圆过原点,140. 1 4,所求圆的方程为 x 2y23 2x 17 4 y0. (2)当半径最小时,圆面积也最小,对原方程左边配方 得x(1)2 y4 2 25 4 8
13、 5 24 5. 当 8 5时,此圆面积最小,故满足条件的圆的方程为 x13 5 2 y6 5 24 5. 误区解密 考虑问题不全面致错 【例 4】 求半径为 4,与圆 x2y24x2y40 相切,且和 直线 y0 相切的圆的方程 错解:由题意知,所求圆与直线 y0 相切且半径为 4,设其 圆心 C 的坐标为(a,4),且其方程为(xa)2(y4)242,又圆 x2 y24x2y40,即(x2)2(y1)232,其圆心为 A(2,1), 半径为 3.由两圆相切,得|CA|34, 所以(a2)2(41)272,解得 a2 2 10, 所以所求圆的方程为 (x22 10)2(y4)216 或(x2
14、2 10)2(y4)216. 错因分析:上述错解只考虑了圆心在直线 y0 上方的情形, 而漏掉了圆心在直线 y0 下方的情形,另外错解没有考虑两圆内 切的情况,也是不全面的 正解:由题意,设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2,圆心 为 C,又圆 C 与直线 y0 相切且半径为 4.故圆心 C 的坐标为(a,4) 或(a,4)又因为圆 x2y24x2y40 的圆心 A 的坐标为 (2,1),半径为 3.若两圆相切,则|CA|437 或|CA|431. 当取 C(a,4)时, (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解), 故 a2 2 10,此时所求圆的方程为 (x22 10)
15、2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216; 当取 C(a,4)时, (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解),所 以 a2 2 6,此时所求圆的方程为(x22 6)2(y4)216 或 (x22 6)2(y4)216. 纠错心得: 处理两圆相切问题,首先,必须准确把握是内切还是外切,若 只是告诉两圆相切, 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论; 其次, 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 课堂总结 1 判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距 d 与两圆半径的和、 差比较大小dRr 时,两圆外切;d|Rr|时,两圆内切;d |Rr|时,两圆内含;dRr 时,两圆相离;|Rr|dRr 时,两圆相交