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1、 函数模型及应用（解答题）1. 某粒子在回旋加速器中作圆周运动，已知出发t个单位时间通过的路程为s(t)=at +bt2 (a,b是常数)，如果最初转完第一圈时用了 5个单位时间，接下去又用 3个单位时间转完第2圈.(1)问：该粒子再用多少单位时间可以转完第3圈？(2)试问从第几圈开始，粒子转完一圈的时间不超过1个单位时间？2. 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁，问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？（抗弯截面模量为W=1/6 bh2）3. 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x 的函数关系式？4. 某村计划建造一个室内
2、面积为 800m2 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左. 右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？5. 某工厂生产某种零件，每个零件的成本为 元，出厂单价为 元.该厂为鼓励销售商4060订购，决定当一次订购量超过 个时，每多订购 个，订购的全部零件的出厂单价就降01价 元，但实际出厂单价不能低于 元.02. 5（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为 元？5（2 ）设一次订购量为 个，销售的利润为 元，写出函数 的表达式。 （工厂售 xPxf出一个零件的利润实际出厂单价成本）6. 某地为
3、了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：2003 年 2004 年 2005 年新植亩数 1000 1400 1800沙地亩数 25200 24000 22400而一旦植完，则不会被沙化。问：每年沙化的亩数为多少？到哪一年可绿化完全部荒沙地？7. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖 4 节车厢，每天能来回 16 次；如果每次拖 7 节车厢，则每天能来回 10 次。每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车
4、厢一次能载客110 人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数)8. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为刹车距离.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了,事发后现场测得甲车的刹车距离没有超过17.5m，乙车刹车距离超过l0m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S 甲 =0.01x2+0.15x, S乙 =0.005x2+0.05x.试问超速行驶
5、应负主要责任的是甲车还是乙车?9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是 ms，其中 表示鱼的耗氧量的单位数.31log20OvO（1 ）当一条鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少?（2 ）某条鱼想把游速提高 1 ms，那么它的耗氧量的单位数将如何变化?答案:1. bcabac607 :26485 ,)1( 得则设 圆 的 周 长 为又设出发x个单位时间后，粒子转过第三圈，则ax+bx 2=3c,79, 107,037:22 xxb由 于即 .)36(218)769(:, 单 位 时 间为转 完 第 三 圈 所 需 的 时 间因 此 (
6、2)设出发t 个单位时间后走完第x圈， )240(1 607 2 xtbb解 得则 )71(9: 1- 圈 所 用 的 时 间 为而 转 完 第 2)749(2,: xxt即依 题 意3.537409x故从第16圈开始，粒子走一圈所用的时间不超过1个单位时间2. 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为W=1/6 bh2.由图看出，b与h有下面的关系：h 2=d2-b2，因此W=1/6 b（d 2-b2）.这样W就是自变量b的函数，b的变化范围是（0，d）.现在，问题转化为b等于多少时W值最大？对此，求W对b的导数：W=1/6 （d 2-3b2）.31,:d得解 方 程由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取得； , 31b ,31b)(0, , 时当所 以内 只 有 一 个 根在现 在 dd.2h ,2,22dhW即这 时的 值 最 大 ., 31, 有 最 大 抗 弯 截 面 模 量时即 当 高 与 宽 分 别 为3. 设矩形的长为x米，则宽为 (50x) 米，由题意得：S=x(50-x) 函数关系式为：S=x(50-x ) (010解得: x40, v乙 40 km/h显然甲没超速，而乙超限速，故乙车应负主要责任。9. （1） lmsv（2 ）由 得 ，所以耗氧量增大为原来的 9 倍21219O
