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1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.4.1 节对数 函数的概念 。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系 密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数 的图象亦有其独特的美感。学习中让学生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这 是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养学 生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。 课
2、程目标 素养 1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定 义域； 2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培 养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思 维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本 数学思想方法。 3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识 事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数 学应用的意识，感受数学、理解数学、探索 数学，提高学习数学的兴趣。 a.数学抽象：对数函数的概念； b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系； c.数学运算：求对数函数的定义域； d.直观想象：对数函数的图像； e.数学建模：运用对数函数解决实际问题； 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 教学重点：对数函数的概念、求对
3、数函数的定义域 教学难点：对数函数与指数函数的关系。 多 媒 体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一） 、问题探究 问题 1 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰 减（称为衰减率），大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称 为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间 有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p， 如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位， 那么， 死亡年后， 生物体内碳含量为 （1-p) 1 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p) 2 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p) 3
4、 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p) 5730 根据已知条件， （1-p) 5730 ,从而 1-p=,所以 p=1- 设生物死亡年数为 x，死亡生物体内碳含量为 y，那么 y=（1-p) x ， 温故知新， 通过 对上节指数函数 问题的回顾，提 出新的问题，构 建对数函数的概 念。培养和发展 逻辑推理和数学 抽 象 的 核 心 素 养。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 即, （x，） 这也是一个函数，指数 x 是自变量死亡生物体内碳含量每年都以 1-减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰 减因此，死亡生物体内碳 14 含量呈指数衰减 在上述问题中，我们用指数函数模型研
5、究了呈指数增长或衰减变化规律 的问题对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对 其蕴含的规律作进一步的研究 在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 y 随死亡时间 x 的变化而衰减的规律反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何 得知它死亡了多长时间呢？进一步地， 死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函 数吗？ 2、概念建构 根据指数与对数的关系，由（x）得到 如图过 y 轴正半轴上任意一点（0，） （ ）作 x 轴的平行线，与（x） 的图象有且只有一个交点（，） 这就说明，对于任意一个 y（， 通过对应关系， 在，）上，都有唯一确定的数 x 和它对应，所以
6、x 也是 y 的函 数 也就是说，函数 刻画了时间 x 随碳 14 含量 y 的衰减而变化的规律 通过对指数 函数回顾，类比 得出对数函数的 概念质，发展学 生逻辑推理，数 学抽象、数学运 算等核心素养； 通过典例问题 的分析，让学生 进一步熟悉对数 函数的概念性。 培养逻辑推理核 心素养。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 同样地，根据指数与对数的关系，由（ ，且 ） 可以得到（ ，且 ）,x 也是 y 的函数 通常，我们用 x 表示自变量，表 y 示函数 为此，将（ ，且 ）中的字母 x 和 y 对调， 写成 yx（ ，且 ） 对数函数的概念 函数ylo_x(a0，且a1)叫做对数函数，其
7、中x是自变量， 函数的定义域是(0，) （二）、典例解析 题型 1 对数函数的概念及应用 例 1 (1)下列给出的函数：ylog5x1； ylogax2(a0，且a1)；ylog( 31)x； y 1 3log 3x；ylogx3(x0，且x1)； ylog 2 x.其中是对数函数的为( ) A B C D (2)若函数ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数，则a_. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f 1 2 _. (1)D (2)4 (3)1 (1)由对数函数定义知，是对数函数，故选 D. (2)因为函数ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数， 求解对数函数 的定义
8、域，发展 学生数学运算、 逻辑推理的核心 素养； 通过对应用问 题的解决，发展 学生数学建模的 素养； 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 所以 2a10， 2a11， a25a40， 解得a4. (3)设对数函数为f(x)logax(a0 且a1)， 由f(16)4 可知 loga164，a2， f(x)log2x， f 1 2 log2 1 21. 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 跟踪训练 1若函数f(x)(a2a5)logax是对数函数，则a_. 答案：2 由a2a51 得a3 或a2.又a0 且a1，所以a2. 题型 2 对数函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 (1)f(x
9、) 1 log1 2 x1 ；(2)f(x) 1 2x ln(x1)； (3)f(x)log(2x1)(4x8). 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 解 (1)要使函数f(x)有意义，则 log1 2 x10，即 log1 2 x1， 解得 0x0， 2x0， 2x0 即 x1， x2， 解得1x0， 2x10， 2x11， 解得 x 1 2， x1. 故函数 ylog(2x1)(4x8)的定义域为 x 1 2x0， x30， 解得x2 且x3， 所以函数定义域为(2,3)(3，) (2)要使函数有意义，需满足 164x0， x10， x11， 解得1x0 或 0x0，且a1) Cylogax
10、2(a0，且a1) Dyln x 【答案】D 结合对数函数的形式ylogax(a0 且a1)可知 D 正确 2函数f(x)lg xlg(53x)的定义域是( ) A. 0， 5 3 B. 0， 5 3 C. 1， 5 3 D. 1， 5 3 【答案】C 由 lg x0， 53x0， 得 x1， x 5 3， 即 1x 5 3. 3已知f(x)log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若f(a)f(2)，利用图象求a的取值范围. 【答案】(1)作出函数ylog3x的图象如图所示 (2)令f(x)f(2)， 即 log3xlog32，解得x2. 由图象知：当 0a2 时，恒有f(a)f(2) 通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对数函数的概 念，增强学生的 数学抽象、数学 运算、逻辑推理 的核心素养。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 ()+，0 所以所求a的取值范围为 0a2. 四、小结 1.对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数. 其中 x 是自变量.定义域为 . 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点； ()1, 0log=aaxy a 且
