《21年高考[数学]考点：导数与函数的综合问题（理科）（教师版） 突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《21年高考[数学]考点：导数与函数的综合问题（理科）（教师版） 突破（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考考点高考考点专项突破 真金试炼真金试炼备战高考备战高考 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考2 专题专题 0707 导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题 【基础巩固】 1、有一批材料可以建成 200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样 的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为( ) A. 2 500 m2 B. 2 750 m2 C. 3 000 m2 D. 3 500 m2 【答案】A 【解析】设矩形的长为 x m，宽为 m，则 Sx (x2200 x)，其中 0x200.当 x100 时， 200
2、x 4 200 x 4 1 4 Smax2 500 m2.故选 A. 2、 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S ，则 S 的最小值是_ 梯形的周长2 梯形的面积 【答案】 32 3 3 【解析】如图，设 CDx(0x1)，则 C梯形 DEBAx2(1x)13x，S梯形 DEBA (1x2)所以 S(0x0，f(x) (a21)成立，求实数a的取值范围 1 2 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) 1. a x 当 a0 时，在(0，)上，f(x)0 时，令 f(x)0，得 xa， 在(0，a)上，f(x)0，f(x)是增函数；在
3、(a，)上，f(x)0 时，f(x)有极大值 f(a)aln aa1，无极小值 (2)由(1)知当 a0，f(x)是减函数， 令 be ，b1，则 ln b0，不成立 a 2 1 2 1 2 a 2 1 2 3 2 a 2 当 a0 时，当 xa 时，f(x)取得极大值也是最大值， 所以 f(x)maxf(a)aln aa1， 要使得对任意 x0，f(x) (a21)成立，即 aln aa1 (a21)，则 aln a a a20 成立， 1 2 1 2 3 2 1 2 令 u(a)aln a a a2(a0)，所以 u(a)ln a11aln aa， 3 2 1 2 令 k(a)u(a)ln
4、 aa，k(a) 1，令 k(a)0，得 a1， 1 a 1a a 在(0,1)上，k(a)0，k(a)u(a)是增函数，在(1，)上，k(a)0，k(a)u(a)是减函数， 所以当 a1 时，k(a)u(a)取得极大值也是最大值， u(a)maxu(1)10， 在(0，)上，u(a)0)，则 F(x)(x0)， x1 x 当 0x1 时，F(x)1 时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a. x2 02x0 x0ln x0 记 G(x)，x， x22x xln x 1 e，e 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考7 则 G(x). 2x2xln xx2x1 xln
5、x2 x1x2ln x2 xln x2 x，22ln x2(1ln x)0， 1 e，e x2ln x20， 当 x时，G(x)0，G(x)单调递增G(x)minG(1)1，aG(x)min1， 故实数 a 的取值范围为1，) 10、一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两 坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M.已知 HM5 m，BC10 m，梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH. (0 4) (1) 求屋顶面
6、积 S 关于 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正 比，比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？ ,) (1)先通过线面垂直得到 FHHM，放在 RtFHM 中，求出 FM，根据三角形的面积公式求出FBC 的 面积，根据已知条件就可以得到所求 S 关于 的函数关系式 (2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价 y 关于 的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值 【解析】(1)规范解答 由题意 FH平面 ABCD，FMBC，又因为 HM平面 ABCD，得 FHHM
7、.(2 分) 在 RtFHM 中，HM5，FMH，所以 FM.(4 分) 5 cos 因此FBC 的面积为 10. 1 2 5 cos 25 cos 从而屋顶面积 S2SFBC2S梯形 ABFE222.2. 25 cos 25 cos 160 cos 所以 S 关于 的函数关系式为 S.(6 分) 160 cos(0 4) (2)在 RtFHM 中，FH5tan，所以主体高度为 h65tan.(8 分) 所以别墅总造价为 ySkh16kkk96k80k96k.(10 分) 160 cos 80sin cos ( 2sin cos ) 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考8 记 f()
8、，0 ，所以 f()， 2sin cos 4 2sin1 cos2 令 f()0，得 sin ，又 0 ，所以 .(12 分) 1 2 4 6 列表： (0， 6) 6 ( 6， 4) f()0 f()3 所以当 时，f()有最小值 6 答：当 为 时，该别墅总造价最低(14 分) 6 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考9 【能力提升】 11、 （2018 年南通一模）已知函数 f(x)Error!若对于tR，f(t)kt 恒成立，则实数 k 的取值范围是 _ 【解析】 ，1思路分析 本题条件“tR，f(t)kt”的几何意义是：在(，)上，函数 yf(t)的图像 1 e 恒在直线
9、ykt 的下方，这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题 令 yx32x2x，x0，即(x1)(3x1)0，解得 x1.又因为 x1，所以 x .令 y0，得 x1，所以 y 的增区间是(， )，减区间是( ，1)，所以 y极大值 1 3 1 3 1 3 1 3 .根据图像变换可作出函数 y|x32x2x|，x2lna2. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，且 f(x). xa x2 (1.1)当 a0 时，f(x)0 成立，所以 f(x)在(0，)为增函数；(2 分) (1.2)当 a0 时， (i)当 xa 时，f(x)0，所以 f(x)在(a，)上为增函数； (ii)当 0xa
10、 时，f(x)0 时，f(x)的最小值为 f(a)，依题意知 f(a)1lna0，解得 0aa，f(1)a0，f(x)在(a，)为增函数，且函数 f(x)的图像在(a，1)上不间断 所以 f(x)在(a，)上有唯一的一个零点 另一方面， 因为 0a ，所以 0a2a . 1 e 1 e f(a2) lna2 2lna，令 g(a) 2lna， 1 a 1 a 1 a 当 0a 时，g(a) ge20 1 a ( 1 e) 又 f(a)a2. 不妨设 x1x2，由知 0x1aa2，即证 x1. a2 x2 因为 x1，(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数， a2 x2 所以只要证 ff(x
11、1) ( a2 x2) 又 f(x1)f(x2)0，即证 ff(x2)(14 分) ( a2 x2) 设函数 F(x)ff(x) 2lnx2lna(xa) ( a2 x) x a a x 所以 F(x)0，所以 F(x)在(a，)为增函数 （xa）2 ax2 所以 F(x2)F(a)0，所以 ff(x2)成立 ( a2 x2) 从而 x1x2a2成立 所以 p2ln(x1x2)2lna2，即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立(16 分) 13、(2019 苏州暑假测试）已知函数 f(x)x1alnx(其中 a 为参数) 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考11 (1) 求
12、函数 f(x)的单调区间； (2) 若对任意 x(0，)都有 f(x)0 成立，求实数 a 的取值集合； (3) 证明： ne0)， a x xa x 当 a0 时，f(x)1 0，所以 f(x)在(0，)上是增函数；(2 分) a x xa x 当 a0 时， x(0，a)a(a，) f(x)0 f(x)极小值 所以 f(x)的增区间是(a，)，减区间是(0，a) 综上所述， 当 a0 时，f(x)的单调递增区间是(0，)； 当 a0 时，f(x)的单调递增区间是(a，)，单调递减区间是(0，a)(5 分) (2) 由题意得 f(x)min0. 当 a0 时，由(1)知 f(x)在(0，)上
13、是增函数， 当 x0 时，f(x)，故不合题意；(6 分) 当 a0 时，由(1)知 f(x)minf(a)a1alna0.(13 分) 令 g(a)a1alna，则由 g(a)lna0，得 a1， a(0,1)1(1，) g(a)0 g(a)极大值 所以 g(a)a1alna0，又 f(x)minf(a)a1alna0，所以 a1alna0， 所以 a1，即实数 a 的取值集合是1(10 分) (3) 要证不等式 1 ne1n1， 1 n 1 n 两边取对数后，只要证 nln1 1(n1)ln1 ，(11 分) 1 n 1 n 即只要证ln1 ， 1 n1 1 n 1 n 令 x1 ，则只要
14、证 1 lnxx1(1f(1)，即 x1lnx0，所以 lnxx1(1x2)(14 分) 令 (x)lnx 1(10， 1 x x1 x2 所以 (x)在(1,2上递增，故 (x)(1)，即 lnx 10，所以 1 lnx(1x2) 1 x 1 x 综上，原命题得证(16 分) 14、(2019 通州、海门、启东期末）已知函数 f(x)x2alnx1，aR. (1) 当 a2 时，求函数 f(x)的极值； (2) 若函数 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围 . 第 2 问，注意到 f(1)0，因此，函数 f(x)已经有一个零点 1，为此，就需要考虑它有另一 思路分析 个零点，据此，通过
15、研究函数的单调性及单调区间来确定每个单调区间上的零点的个数由于 f(x) ，下面就要考虑方程 2x2a0 在(0，)上是否有实数根，实数根是否等于 1，为此，得到分类讨 2x2a x 论的标准，即 a0，0a2，分别来讨论每种情形时函数 f(x)的零点的个数，从而得到实数 a 的取值范围 (1)当 a2 时，f(x)2x ，令 f(x)0，解得 x1.(2 分) 2 x 列表： x(0，1)1(1，) f(x)0 f(x)极小值 f(1) 所以，当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)0，f(x)没有极大值(4 分) (2)因为 f(x)x2alnx1，x0.所以 f(1)0，f(x)2x .
16、 a x 当 a0 时，f(x)0. 所以 f(x)在(0，)上单调递增，f(x)只有一个零点，不合题意(6 分) 当 a0 时，由 f(x)0 得 x，由 f(x)0 得 xx， a 2 a 2 所以 f(x)在上单调递减，f(x)在上单调递增， (0， a 2) ( a 2，) 所以 f(x)在 x处取得极小值，即为最小值 a 2 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考13 1当 a2 时，f(x)在(0，1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增，f(x)只有一个零点，不合题意：(8 分) 2当 0a2 时，1，故 falnx1，令alnx10， 取 x0e，使得 f(x0)0，下面先证明e； x 1 a 2 x 1 设 g(x)xlnx，g(x)lnx1，令 g(x)0，解得 x . 1 e 列表： x (0， 1 e) 1 e ( 1 e，
