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1、7.4空间曲面和空间曲线本节以两种方式来讨论空间曲面：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。7.4.1球面与柱面(一)球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点，半径为R的球面方程。设为球面上的任一点，则有，即，化简得：。 球面上所有点的坐标都满足方程，反之，不在球面上的点，其坐标都不满足方程，因此，方程是球面的方程。当时，即球心在原点的球面方程为 。 例1指出方程表示何种曲面。 解：， ， 方程表示以（-1，2，3）为球心，3为半径的球面。（二）柱面 动直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L称为柱面的母线，定曲线C
2、称为柱面的准线。 现在来建立以平面上的曲线：为准线，平行于轴的直线L为母线的柱面方程。 设为柱面上任一点，过M点作平行于轴的直线，交坐标面 于点，由柱面定义可知点必在准线C上。故点的坐标满足 曲线的方程，由于方程不含z，所以点也 满足曲线的方程。而不在柱面上的点作平行于轴的直线与 坐标面的交点必不在曲线上，也就是说不在柱面上的点的坐标不满足 方程，所以，不含变量z的方程 在空间表示以坐标面上的曲线为准线，平行于轴的直线为母线的柱面。一般地 方程表示母线平行于Z轴的柱面； 方程表示母线平行于X轴的柱面； 方程母线平行于Y轴的柱面方程。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。例如：方程表示圆柱面；方
3、程表示椭圆柱面； 方程表示双曲柱面；方程表示抛物柱面。 例2指出下列方程在空间直角坐标系中分别表示什么图形？ （1） 母线平行于z轴的椭圆柱面。 （3） 母线平行于y轴的抛物柱面。 （4） 母线平行于z轴的双曲柱面。 （5） 母线平行于x轴的双曲柱面。例3求母线平行于向量，准线为的柱面方程。解：设是准线上的任一点，则过平行于的直线柱面上，而方程为，其参数方程为 代入准线方程，得 ，故，代入， 则得所求柱面方程为。7.4.2 空间曲线（一）空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面与的交线。若曲面与的方程分别为与，则其交线的方程为 方程组称为空间曲线的一般方程。 例4方程组表示上半球面和圆柱面
4、的交线。例5方程组 表示圆柱面与球面的交线，它是平面上的一个圆。 注意：表示空间曲线的方程组不是唯一的。例如O也表示同一个圆，一般说来，用两个方程的组合代替方程之一，仍表示同一曲线。例6方程组()表示两个圆柱的交线在第一卦限的部分。此曲线亦可用方程组()表示。例7方程组表示在z1平面上的圆。 方程组表示在平面上的圆。（二）空间曲线的参数方程 空间曲线上动点M的坐标也可以用另一个变量函数来表示， 即 取定一个值时，由方程组就得到曲线上一点的坐标，通过变动，可以得到曲线上所有的点，方程组称为曲线参数方程，参数。例7设质点在圆柱面上以均匀的旋转，同时又以均匀的线速度平行于的方向上升。运动开始，即时，
5、质点在处，求质点的运动方程。解：取为参数，质点的位置为，作，垂足为，则从到所经过的角，上升的高度为，即质点的运动方程为： 此方程称为螺旋线方程。 也可以用其它变量作参数；例如令，则螺旋线方程为 ， 这时，而参数为。（三）空间曲线在坐标面上的投影 1空间直线在坐标平面上的投影的概念 已知空间曲线和平面，从上各点向平面作垂线，垂足所构成的曲线称为曲线在平面上的投影曲线。准线为曲线而母线垂直于平面的柱面称为空间曲线关于平面的投影柱面。投影曲线就是投影柱面与平面的交线。 特殊地，以为准线，母线平行于轴的柱面称为空间关于面的投影柱面，此投影柱面与面的交线称为在面上的投影曲线。 同样可以定义关于面、面的投
6、影柱面和投影曲线。2投影曲线方程的求法 设空间的一般方程为 ，消去，得，它表示母线平行于轴的柱面方程。 因为柱面方程是由得到的，所以上点的前两个坐标必满足该方程，因此柱面过，故方程所表示的柱面就是关于面的投影柱面。 而方程 就是在面上的投影曲线的方程。 同样，从的方程中分别消去，得到柱面方程与，则与分别是在平面和平面上的投影曲线的方程。 例8求球面与旋转抛物面的交线在平面上的 投影曲线方程。解： (1)(2)得 ， （舍去），。 交线的方程也可表示为：， 消去z，得交线关于平面 的投影柱面方程：。 交线在平面上的投影曲线方程是， 它在平面上是以（0，0，0）为圆心，2为半径的圆。 如果在曲线的
7、方程中，出现有一个缺z项的方程时，那么此方程所表示的曲面正巧是经过该曲线且母线平行于z轴的柱面，它就是曲线关于平面 的投影柱面，这样就可省略消去z的过程。 例如，：在平面上的投影方就是，在平面上的投影方程就是。例9求：在、平面上的投影曲线的方程。解：在平面上的投影曲线方程为。 从的方程中消去x，得关于平面的投影柱面方程： +=64， 故关于平面的投影曲线是一段抛物线：（）。7.4.3旋转曲面的方程（一）旋转曲面的定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴。（二）旋转曲面的方程 设在平面上的方程为，将旋转一周，得到一个旋转曲面。它的方程可以求
8、得如下：MOMP 设为旋转曲面上的任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点，交曲线于点。 由于点可以由点绕z轴旋转而得，故有 ， （1） ， ， （2）又在曲线上，。将（1），（2）代入，即得旋转曲面方程： 。 因此，欲求平面曲线：绕z轴所成的旋转曲面方程，只要将中的换成而z保持不变，即得旋转曲面方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面方程为：。 例10求直线绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程。 解：坐标面上的直线绕z轴旋转， 将z保持不变，y换成， 则得， 即所求旋转曲面方程为， 该方程表示的曲面称为圆锥面，点称为圆锥的顶点。 例11求抛物线，绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程。解：在方程中中，将换成，而z保持不变， 则即为所求旋转曲面的方程。 该曲面称为旋转抛物面。例12求椭圆绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程。b解：在方程中，将换成，而z保持不变， 则即为所求旋转曲面的方程。 该曲面称为旋转椭球面。例13求双曲线，分别绕轴和轴旋转所得的曲面方程。解：绕轴所成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面，其方程为。绕轴所成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面，其方程为。10
