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1、Part I:FundamentalsHigher engineering fluid mechanics,第二章流体静力学,研究流体处于静止或相对静止状态下的力学规律， 以及在工程中的运用。 特点：流体中各质点没有相对运动，粘性力不存在。 第一节 作用在流体上的力 1、 质量力 作用在流体的每个质点上，且与质量成正比的力。,假设在流体中取一质量为m、体积为V的流体微 团，质量力为，且 在三个坐标轴上的分量分别 为Fx，Fy，Fz，单位质量力 轴向分量： X= Fx/m，Y= Fy/m，Z= Fz/m。 若作用在流体上质量力只的重力： 即 代入上式得： 而在直角坐标系中，,因此，而在直角坐标系
2、中：,2、表面力,作用在流体表面，且与作用的表面积大小成正 比的力。,不仅指作用于流体外表面，而且也包括作用于流体内部任一表面,流体中取一流体微团，表面为A，若作用在 表面上的力为F，将F分解沿法向分量 P和切向方向分量T。 若A中有任一点a，则： 分别为a点的压强和切应力。,平均压强,平均切应力,第二节 流体静压力的特点 1、流体静压力的方向沿作用面的内法线方向 反证法：设压力F方向如图，分解成两个分量： 切向方向的分量T及法向方向的分量P。 若存在切向力T：则流体受任何 微小的剪切力作用都将发生持续的变形 流体不能处于平衡状态。 由于流体不能承受拉力，故也不可能存在 外法线方向力P。,既然
3、不存在切向力，又不存在外法向力 故只能沿作用面的内法线方向。 2、静止流体中任一点的流体静压强大小与其 作用面在空间的方位无关。 证明：在静止流体内，过任意一点O取一直 角四面体如图，其三边分别与x，y，z 轴重合，相应边长分别为dx，dy，dz。 四个面的面积分别为 ， ， ，。设微元体四,个面压强分别为px，py，pz和pn，则： 微元体x方向所受力分别为： 压力： 质量力： 对于静止流体，其合外力在x方向投影为零，即：,而,代入上式得： 当 ，即四面体体积缩小并趋近于零， 得： 此式表明： 在静止流体中任一点压强值与作用面的方位无关。 而不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的， 即
4、流体静压强是空间坐标的连续函数 。,同理,第三节 流体平衡微分方程 1、微元流体所受的合压力 取一微元流体ABCDEFGH，边长为dx、dy、dz 分别与x、y、z轴平行。中心为M，其压强为p， 密度为。 x方向： 过M点作一平行于x轴的直线， 分别相交于ABCD面为N点，相交 于EFGH面为O点，,N、O亦分别为两个面的中心点。则两点坐标位置: N点（x-dx/2，y，z）、O点（x+dx/2，y，z） 对以上两点压强,按泰勒级数展开, 忽略二阶及二阶以上无穷小： 则，N点压强,O点压强, 沿x方向微元流体所受合压力 同理，沿y方向，微元流体所受合压力 z方向，微元流体所受合压力 微元流体所
5、受合压力,2、微元体所受的质量力： 3、基本方程 在这两个力作用下，流体处于静止状态，则,第四节 重力场中静压强的分布规律 当作用于静止流体的质量力只有重力时， 且在直角坐标系中： gx=gy=0，gz=-g,若=常数 （均质）,引入边界条件：当z=zO(液面)，p=p0(液面) 讨论： (1) 压强随深度按直线变化规律； (2) 压强大小与容器形状无关； (3) 自由表面p0 有任何变化，都会引起液体 内所有质点压强的同样变化； 根据公式p=p0+gh,若液面上p0有所增减，p p0p0 则，液体中压强也有类似的增减，假设液体中增减为 pp，根据以上公式， pp=p0p0+gh p=p0 (
6、p=p0+gh) (4) 同一容器的静止流体中，所有各点测压 管水头均相等。 如图所示：共有3点：0，1，2； z：为点(0，1，2)相对于基准位置的长度，, Pascallaw,称位置水头。 p/：为点(0，1，2)在压强作用下测压管所 能上升的高度（p0/， p1/ ， p2/ ）称为压强水头。 ：称为 测压管水头。 对1点 p1=p0+h1=p0+(z0- z1) p1+z1=p0+z0,对2点 p2=p0+h2=p0+(z0- z2) p2+z2=p0+z0 p1+z1= p2+z2 p1/+z1 = p2/+z2 同一容器里的静止流体中，所有各点的测压 管水头均相等。 (5)分界面和
7、自由面是水平面 两种不同互不混和的液体处于静止时形成分界,面，这种分界既是水平面又是等压面。 反证法：，设不是水平 面而是倾斜面，在分界 面上任 选1，2两点，深度差 对方液体 对方液体一定 且水平面 且既是水平面又是等压面。 自由面是分界面的一种特殊形式。,第五节 压强的计算基准和度量单位 1、 计算基准 （1) 绝对压强： 以无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压 强，以p表示。 （2）相对压强： 如果不以绝对真空为零点， 而是以大气压强（以pa表示） 为零点起算，以p表示： 则：绝对压强=相对压强大气压强 p=p+pa,绝对压强总是0，但相对压强不一定。若某流体 点处在B点，从图可知，B
8、点相对压强为负。 pv=pa- p 2、压强的度量单位 （1） 以压强的基本定义出 发即单位面积上的压力，单位 为N/m2，以符号pa表示。 （2） 大气压强的倍数来表示。 （3） 液柱高度来表示。常用有水柱高度，汞柱 高度。,p=h则 h=p/ 一个标准大气压 3、压强的测量,液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。,Application ?,绝对压强,相对压强，表压,Piezometer Tube PA.gauge = g h1 Simple U-Manometer P2 = P3 PA + 1gh1 = 2 g h2 PA,gauge = 2 g h2 - 1gh1,Diff
9、erential U-tube PA + 1 g h1 - 2gh2 - 3gh3 = PB PA PB = 2gh2 + 3gh3 - g h1 Inclined Manometer Pipes A & B contain gas PA - 2 g l2 Sin = PB PA PB = 2 g l2 Sin ,第六节 作用在平面上的液体压力 1 、重心、形心 如果把物体看成是由许多质点组成,则物体的重力 就是分布在这些质点的一个平行力系.平行力系的作 用点,即重心。 如果是均质物体, 重心只决定于几何形状及尺寸形心,如果厚度均匀, 积分: 2、压力大小 设有一与水平面成夹角的 倾斜平面ab
10、，其面积为A， 左侧受水压力，水面大 气压强为pa，在平板表面所在 的平面上建立坐标，原点o取在平板 表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平 板向下。,则微元面dA所受压强p=h 压力dP=pdA=hdA=ysindA 整个平面由无数dA组成， 则整个平板所受水静压力 由dP求和得到。 根据平行力系求和原理， 作用在平面上的水静压力 而 受压面对ox轴静面矩（yc为平面形心c距液 面高度）。,P=sinycA=hcA=pcA 作用在平面上水静压力等 于形心处的压强与作用面积之乘积。 3、 压力的方向 沿受压面的内法线方向。 4、压力的作用点(压力中心D) D点的位置可以通过合力矩定理
11、求得。合力矩定 理可表述为： 作用在受压平面的任一微小面积dA上水静压力dP 对ox轴力矩的总和等于整个受压平面所水静压力P对,同一轴的力矩。具体可表示为： 微小面积dA所受水静压力 dP=hdA=ysindA 对0 x轴力矩 合力矩 式中为受压面对ox轴的惯性矩Ix M=sinIx 另一方面，整个平面所受合 压力P，假设作用点距ox轴为yD， 则：,根据合力矩定理 根据平行移轴定理，Ix=Ic+y2cA 其中IC为受压面对通过平面形心并与平行于ox 轴平行的轴的惯性矩。 从以上公式可知，由于IC/yCA0， yDyC， 即yD总是在形心下方。,Centroid（形心，重心）,Find tot
12、al force P,hc: depth of centroid,The force on a submerged plane equals the pressure at the plate center times the plate area, independent of the shape of the plate or the angle .,Moment to x axis,（1) 水静压力大小为形心处压强乘以平面面积。 （2）水静压力方向垂直于 受压平面，并指 向平面内法线方向。 （3）作用点yD在形心下方， 例2-1：一铅直船闸门门 宽B=5m，闸门一侧水深为 H=7.5m，
13、另一侧水深h=3m，求作用在此 闸门上的水平合压力及作用线位置。,解：左边：迎水面积 形心： 作用力： 作用点： 右边：面积 形心,作用力 作用点 合力 作用线：假设合力的作用线距底边为y,代入数据，,例2-2：矩形闸门AB可绕其顶端A轴旋转，由固定闸 门上的一个重物来保持闸门的关闭。已知闸门宽 1.2m，长0.9m，整个闸门和重物1000kg，重心在G 处，与A水平距离为0.3m，求水深多大时，闸门刚好 打开（=60，设水深为H）。 解：要使闸门打开， 闸门迎水平所受水 的总压力对转轴A的 力矩至少应等于闸 门与重物重量对A的力矩。,M水M物（等号为刚好打开） 面积 A= bh 形心 力 压
14、力作用点：,又 则,代入以上数据，得 H0.88m 故当 H=0.88m，闸门刚好打开。,第七节 作用在曲面上静止流体的压力,平面与曲面上的水静压力计算有何异同? 以二维曲面（圆柱面）为对象 进行分析：如图，设AB为圆柱体 曲面的一部分，受压母线与纸面 垂直。左侧受水静压力作用，在 表面上任意取一点E，E点距水面距离为h，以E点为 中取一微元面积dA，则作用在dA上的水静压力为： 不是平行力系 假设dP与水平面夹角为，则dP在水平方向和铅直,方向的分量： 水平方向 铅直方向 从右图可得： 微元面在铅直面上的投影 微元面在水平面上的投影,则 1、 水平方向： 曲面AB在铅直面上的投影面积Az对水
15、面 水平轴的静矩。 假设hc为Az的形心在水面下淹没深度 则,作用在曲面上流体压力的水平分量是Px等于作用 于该曲面铅直投影面上的水静压力。 水平分量Px为铅直方向上的投影面形心 处的压强。 2、铅直方向： hdAx是以dAx为底面积，水深h为高的柱 体体积； 则为整个受压曲面AB与其在自由 面的投影面CD这两个面之间的柱体ABCD的体积 ,铅直分量Pz为其压力体的液体重量。 （1）求压力体底面是受压曲面，顶面是受压曲 面边界线封闭的面积在自由面或其延长面上的投影， 中间是通过受压面边界线所做的铅直投影面。 （2）铅直分量的方向可以通过实压力体和虚压力 体来确定,（ 关系到合力的作用方向）,3
16、、 合压力： 大小： 作用线与水平方向的夹角：,例2-3：如图所示一挡水弧形闸门，已知 R=2m,=30。,h=5m,试求单位宽度所受 的水静总压力的大小。 解：水平方向的压力等于面EB上的水 压力： 铅直方向的压力等于压力体CABEDC 的水重。分成两部分： （1）,（2） 则：由 代入数据得,例2-4 试绘制图中abc曲面上的压力体。,解:因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。,阴影部分相互抵消,abc曲面(虚压力体),abc曲面(虚压力体),合成,阿基米德浮力 求作用在浮体（如舰、船）上的静水总压力。 浮体前后、左右受力分别相互抵消，只受有铅直分力，可用压力体概念求解，即,浮力,古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠，王冠做成后，国王拿在手里觉得点 问题。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结
