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1、高等数学串讲,串讲分成一下几个部分：,第一部分：高等数学部分考查重点,第二部分：典型例子,第三部分：必须要会的定理证明,第一部分： 历年考研数学真题高等数学部分考查重点,一、函数、极限与连续,1.求函数表达式，分段函数的复合函数;,2.求极限或已知极限确定原式中的常数;,3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;,4.无穷小阶的比较;,或确定方程在给定区间上有无实根。,5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，,二、一元函数微分学,1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，,特别是分段函数和带有绝对值的函数 可导性的讨论;,隐函数和由参数方程所确定的函数求导，,2.利用洛比达法则求不定式极限;,
2、3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;,柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，,4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、,6.利用导数研究函数性态，求曲线渐近线。,5.几何、物理、经济等方面的最大值、,主要是确定目标函数和约束条件，,最小值应用问题，解这类问题，,判定所讨论区间;,3.有关积分中值定理和积分性质的证明题;,三、一元函数积分学,1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;,2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;,5.综合性试题。,旋转面面积，压力，引力，变力作功等;,4.定积分应用题：,计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，,5.与多元函数微分学在几何上的应用,四、向量代数
3、和空间解析几何(基础),1.求向量的数量积，向量积及混合积;,2.求直线方程，平面方程;,3.判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;,4.建立旋转面的方程;,五、多元函数的微分学,是否存在、是否可微，偏导数是否连续;,2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、,3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;,二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;,1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数,该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与,4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，,空间解析几何的综合题，应结合起来复习;,5.多元函数的极值或条件极值在几何、,物理与经济上的应用题;,求一个
4、二元连续函数,在一个有界平面区域上的最大值和最小值。,六、多元函数的积分学,1.二重、三重积分在各种坐标下的计算，,2.第一型曲线积分、曲面积分计算;,斯托克斯公式及其应用;,4.第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;,累次积分交换次序;,3.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，,数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。,5.梯度、散度、旋度的综合计算;,6.重积分，线面积分应用;,求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。,七、无穷级数,1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;,2.求幂级数的收敛半径，收敛域;,3.求幂级数的和函数或求数项级数的和;,4.
5、将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);,5.将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，,6.综合证明题。,要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);,八、微分方程,1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：,2.求解可降阶方程;,3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;,4.根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;,5.综合题，常见的是以下内容的综合：,变上限定积分，变积分域的重积分，,线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。,第二部分：典型例子,一、函数、极限与连续,1.求函数表达式，分段函数的复合函数;,2.求极限或已知极限确定原式中的常数;,3.讨论函数的连续性，判断
6、间断点的类型;,4.无穷小阶的比较;,或确定方程在给定区间上有无实根。,5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，,二、一元函数微分学,1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，,特别是分段函数和带有绝对值的函数 可导性的讨论;,隐函数和由参数方程所确定的函数求导，,2.利用洛比达法则求不定式极限;,3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;,柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，,4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、,6.利用导数研究函数性态，求曲线渐近线。,5.几何、物理、经济等方面的最大值、,主要是确定目标函数和约束条件，,最小值应用问题，解这类问题，,判定所讨论区间;,3.有关积分
7、中值定理和积分性质的证明题;,三、一元函数积分学,1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;,2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;,5.综合性试题。,旋转面面积，压力，引力，变力作功等;,4.定积分应用题：,计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，,重要结果：,17. 已知,求,积分部分典型例子,围成的平面图形的面积。,.,四、多元函数的微分学,是否存在、是否可微，偏导数是否连续，以 及他们之间的关系,2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、,3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;,二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;,1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数,该类型题是多元函数
8、的微分学与前面向量代数与,4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，,空间解析几何的综合题，应结合起来复习;,5.多元函数的极值或条件极值在几何、,物理与经济上的应用题;,求一个二元连续函数,在一个有界平面区域上的最大值和最小值。,五、多元函数的积分学,1.二重、三重积分在各种坐标下的计算，,2.第一型曲线积分、曲面积分计算; （对称性问题）,格林公式及其应用;,4.第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;,累次积分交换次序;（对称性问题）,3.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，,数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。,5.梯度、散度、旋度的综合计算;,6.
9、重积分，线面积分应用;,求面积，体积，质量，重心，引力，变力作功等。,5.,轮换对称性问题：,（轮换对称性适用于有抽象函数的积分的证明题）,o,y,x,C,o,，,六、无穷级数,1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;,2.求幂级数的收敛半径，收敛域;,3.求幂级数的和函数或求数项级数的和;,4.将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);,5.将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，,6.综合证明题。,要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);,3.,七、微分方程,1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：,2.求解可降阶方程;,3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;,4.
10、根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;,5.综合题，常见的是以下内容的综合：,变上限定积分，变积分域的重积分，,线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。,1求下列微分方程的通解,的通解.,因此特解为,所求通解为,5.,6.,6. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,7.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(2) 求出F(x) 的表达式 .,5.与多元函数微分学在几何上的应用,八、向量代数和空间解析几何(基础),1.求向量的数量积，向量积及混合积;,2.求直线方程，平面方程;,3.判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;,4.建立旋转面的方程;,1.介值定理的证明,2.可导与可微等价,3.斜渐近线公式的推导,4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明,5.三个中值定理的证明,需要掌握的定理证明和一些公式的推导：,
