《高等数学方程方程根的存在性例题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学方程方程根的存在性例题及答案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1关于“方程根的存在性问题”“方程根的存在性问题”是考研数学试题的一个大热门，而一般考生都只是把他与“闭区间上连续函数的介值定理”相联系，这是不太全面的其实这类问题有时可以和微分中值定理或函数极值存在的必要条件联系起来归结起来，解决“方程根的存在性问题”一般可根据如下三个定理：【定理 1】 （闭区间上连续函数性质）若函数 在 上连续， ，则方)(xf,ba0)(bfa程 在 上必有解0)(xf,ba【定理 2】 （罗尔定理）函数 在 上连续， 内可导，且 ，则方)(xf,ba),( )(ff程 在 内必有解)(xf),(【定理 3】 （函数极值存在的必要条件）若函数 在 内可导，且有极值)(x
2、f,ba，则 ),()bacf0)(cf通过下面三个例子，就足以说明“方程根的存在性问题”只与“闭区间上连续函数的介值定理”相联系，是不太全面的【例 1】设实数常数 满足 ，试证明方程1321,na 0132na在 内一定有解0)(32xxa ),(【例 2】设函数 和 在 上连续，试证明方程)fg,b在 内有解，xabx tftgf d(d() )【例 3】设函数 在 上可导， ， ，试证明方程)f,0(af)(bf在 内至少有一个根0)(f,(b这里根本无法验证“闭区间上方程根存在定理的充分条件” 下面我们只研究这里的【定理 1】的应用，其他问题稍后再议在展开讨论之前，首先我们不能说一下，
3、由于有些问题会涉及到有界开区间、无穷区间或无界函数的问题，所以我们还应该理解对应的很多定理下面仅举出其中的某几个，在做试卷解答时，他们都是可以直接引用的【定理 4】若函数 在 上连续， ， ，则方程)(xf,ba)0(af )0(bf在 上必有解0)(xf,【定理 5】若函数 在 上连续，若 ，则方程 必有)(xf),)(f 0)(xf实数解对于函数给得很具体，给出的区间也很具体的问题，应该不会是很难的，所以我们这2里只讨论需要作辅助和需要确定方程根存在区间的问题【例 4】若 是连续函数，试证明存在不超过 1 的正数 ，使 和)(xf )(1f互为倒数)(1f【分析】把题意中“ 和 互为倒数”
4、的意思表示成式子就是)(1f)(1f，也就是 ，所以有如下两种不同的辅助函)()(1ff 1)(2f数：一 ，这种情况下 在 上连续，必须先求出“极限”1)()(2xfxg)(xg,0，再利用 来说明00)(2f二 ，这种情况下 在 上连续，更容易说明其结论)(2xfx)(x1,【例 5】若函数 在 上连续，且 ，证明6,06f（1）存在 ，使 ；（2）存在 ，使 ；3,)3()ff 4,0)2()ff（3）存在 ，使 1【分析与思考】 （1）很容易想到作辅助函数 ，其连续性毋庸置疑，)3()(xfxg结论不讲自明)0()36()( ffg（2）辅助函数 及其连续性还是很容易想到说明的，但是这
5、里2xxg与 之间的关系不明，找不到他们)(4)(4)( ff )2(fg之间的联系，就找他们的除了公共部分 外的差别（差别也是一种联系） ，0f即 ，于是可知 ，所以 、 、 不)2(f)(g0)4()()(g2)4(g可能同正或同负（3）令 ，则有 ，)1()(xfx 0)5()3(2)( g【例 6】若常数 ，证明对任意确定的实数 ，直线 与曲线0khhkxyxye至少有一个交点3【分析与思考】由于曲线 在上半平面内，而直线 是从 点开始xyehkxy0,k向上穿过 轴的，所以可取 xkha辅助函数 的连续性是显然的，且 另一方面，xfe)( 0e)(af由于 ，所以 结论也就出来了0klimfx【例 7】若 是周期为 的连续周期函数， 是任意给定的正数，试证明方程)(f)0(TL有无穷多个实数解)(Lxf【分析与思考】1如果能证明方程存在一个实数根，根据条件“若 是连续的周期函)(xf数”即可知道方程一定有无穷多个实数根2辅助函数 的连续性是肯定的，关键是要找到 两点，能)()(Lxfxg ba,使 成立0)(bag3为此我们可以联想到利用最值定理，根据“ 在 上连续”的条件可知“)(xf,0T在 上必有最大值点 和最小值点 ”)(xf,T4取 ， 是为了保证 ，且分别是函数 的最大值点和最aTbba)(xf小值点
